Si $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, est aussi $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

Laisser $(E_1,\mathcal E_1)$ et $(E_2,\mathcal E_2)$être deux espaces mesurables. Laisser$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. Laisser$\mathbb P$ une distribution de probabilité valide sur $(E,\mathcal E)$. Définir les distributions marginales$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ et $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$, et enfin désigner la distribution du produit par $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. Supposons enfin que nous savons\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} Ma question est de savoir si cela tient aussi \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

En particulier, si c'est faux j'espère voir un contre-exemple et je serais également intéressé de savoir si c'est vrai dans le cas $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ pour certaines fonctions $g$ et $h$.

Answer 1

Ce n'est pas vrai en général.

Laisser $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, et laissez $\mu$ être une mesure de probabilité sur $\mathbb{R}$sans premier moment (par exemple distribution de Cauchy). Laisser$\mathbb{P}$ être la loi commune de $(X, X)$ où $X \sim \mu$. Enfin laissez$f(x,y) = x-y$. En dessous de$\mathbb{P}$, nous avons $Y=X$ comme, et donc $f(X,Y)=0$ comme, donc $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. Mais sous$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, nous avons $X,Y$ sont iid $\mu$, et il s'ensuit que $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. Pour voir cela, utilisez le théorème de Tonelli pour écrire$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ où l'intégrale est identiquement $+\infty$, en utilisant $|X-y| \ge |X|-|y|$.

Ce n'est même pas vrai pour $f(x,y) = g(x) h(y)$. Laisser$W$ être une variable aléatoire avec un premier moment infini, et $Z$ une variable aléatoire de Bernoulli (1/2) indépendante de $W$. Laisser$\mathbb{P}$ être la loi commune de $(WZ, W(1-Z))$, Et mettre $f(x,y) = xy$, qui est de la forme $g(x) h(y)$. ensuite$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ car $Z(1-Z)=0$ comme But $WZ, W(1-Z)$ sont répartis de manière identique, nous avons donc $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$