Solution d'une équation avec des logarithmes de type $x\log(x) + ax + b = 0$

Question

J'ai rencontré une équation transcendantale avec des logarithmes comme $x\log(x) + ax + b = 0$, et je me demande s'il existe une solution de forme fermée pour l'équation.

Answer 1

Je soupçonne qu'il n'y a pas de solution de forme fermée. Les fonctions transcendantales comme celles-ci ne le font généralement pas; surtout compte tenu des variables$a,b$, il y a tout simplement trop de degrés de liberté et trop d'équations uniques.

Remarque: je suppose que $\log$est le logarithme naturel. Si ce n'est pas le cas, vous pouvez facilement modifier les calculs.

Nous pouvons remplacer $x=e^u$ et arriver à l'équation $ue^u + ae^u + b=0$.

Réécrivez-le comme $e^u(u+a)=-b$

Multiplier par $e^a$ produire $e^{u+a}(u+a)=-be^a$

Profitez de la fonction Lambert W: $u+a= W(-be^a)$

Donc: $$\log(x) = W(-be^a) - a$$

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Dans un commentaire, vous avez posé une question sur le Lambert W ayant un dérivé. Il a un dérivé implicite:$$\frac{d W(x)}{dx} = \frac1{x + e^{W(x)}}$$

Answer 2

Ce genre d'équations ne peut être résolu en le réorganisant en appliquant un nombre fini de fonctions élémentaires .

Si la conjecture de Schanuel est vraie et$a,b\in\overline{\mathbb{Q}}$, l'équation n'a pas de solutions qui sont des nombres élémentaires .

voir Solvabilité en forme fermée des équations transcendantales élémentaires?

Comme l'a montré CogitoErgoCogitoSum dans sa réponse, la solution non élémentaire peut être représentée par

$$x=e^{W(-b{e^a})-a}=-\frac{b}{W(-be^{a})}.$$ $\ $

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$$W'(x)=\frac{W(x)}{x+xW(x)}$$