Solution de forme fermée à une condition de divergence

Question

J'ai été coincé sur un problème et je me demandais si quelqu'un pourrait m'aider. J'essaie de résoudre le problème de divergence suivant explicitement pour$\vec{A}$

$$\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} \tag{1}$$

où $\nabla = (\partial_{x}, \partial_{y})$ et $\phi$ (et donc $\vec{A}$) est périodique dans l'espace. Je me demandais s'il y avait une `` belle '' factorisation de la RHS telle qu'elle puisse être écrite sous la forme$\nabla \cdot \vec{\Phi}$? Je doute qu'il y ait, comme

$$\nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} = -(\nabla^{2} \phi)^{2} \nabla \cdot \left( \frac{\nabla \phi}{\nabla^{2} \phi} \right) \tag{2}$$

où le quotient doit être interprété comme une division élémentaire et le RHS de$(2)$, autant que je sache, n'a pas d'autre factorisation qui le mettrait sous la forme que je recherche. Bien sûr, je pourrais simplement définir

$$\vec{A} = (A_{1},A_{2}) = \left(c \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dx, \ (1 - c) \int \nabla \phi \cdot \nabla (\nabla^{2} \phi) - (\nabla^{2} \phi)^{2} dy \right)$$

pour certains $c \in \mathbb{R}$, qui satisferait $(1)$. Cependant, j'espérais trouver une belle simplification sans intégrales. On peut également noter que les premiers termes sur l'ERS de$(1)$ peut être interprété comme $\mathcal{L}_{\nabla \phi} \nabla^{2} \phi$, la dérivée directionnelle de $\nabla^{2} \phi$ en direction de $\nabla \phi$. Je ne suis pas sûr que cela soit d'une grande utilité.

De plus, si quelqu'un d'autre a vu l'ERS de $(1)$ dans tout autre contexte, merci de me le faire savoir.

Merci.

Answer 1

Le problème tel que vous l'avez écrit n'a pas de solution à moins que $\phi\equiv c$. Observez que nous aurions$$\text{div} A=\text{div}(\Delta\phi\nabla\phi)-2(\Delta\phi)^2.$$ Puisque votre espace n'a pas de limite, nous pouvons faire la moyenne et trouver $$\int_{\mathbb T^d}(\Delta\phi)^2=0$$ et nous concluons.

Si vous résolvez ce problème, par exemple, en soustrayant la moyenne du côté droit, vous aurez un espace infini de solutions. À ce stade, inverser la divergence dans divers espaces est un problème bien étudié, voir par exemple. ici .