Solution explicite aux équations de type Bessel

Question

Je me demandais si on pouvait résoudre explicitement l'équation suivante $$ x^2 y'' + x y' + k^2 x^2 (x^\beta+1) y = a^2 y $$ pour de vraies constantes $k,a,\beta$? Si$\beta = 0$ alors la solution est une combinaison linéaire de Bessel $Y_a$ et $J_a$.

Answer 1

À l'exception de $\beta=2$, Je ne pense pas que nous puissions avoir des solutions explicites.

Pour ce cas précis

$$y=2^{\frac{a+1}{2}} x^a e^{\frac{1}{2} i k x^2} \left(c_1\, U\left(\frac{2 a-i k+2}{4} ,a+1,-i k x^2\right)+c_2\, L_{-\frac{2 a-i k+2-2}{4} }^a\left(-i k x^2\right)\right)$$

Answer 2

Présumer $k\neq0$ pour les étuis clés

$x^2y''+xy'+k^2x^2(x^\beta+1)y=a^2y$

$x^2y''+xy'+(k^2x^2(x^\beta+1)-a)y=0$

Quelle est une version plus généralisée par rapport à l' équation différentielle de type Bessel

Quelques cas particuliers:

$\beta=0,-2$ : convertible en Bessel ODE

$\beta=-1,2$ : convertible en ODE hypergéométrique dégénéré

$\beta=-4$: similaire à la recherche de solutions exactes d'équations différentielles ordinaires du second ordre avec des coefficients variables. et peut se réduire à l'équation de Heun doublement confluente