Solutions multiples à un ODE

Question

Je souhaite trouver la solution à l'IVP: $$y' = 2\cos(x)\sqrt{y-1},\;\; y\geq1 $$ avec condition initiale $y(0)=2$.

J'ai utilisé la séparation des variables pour obtenir la solution générale $$y =\left(\sin(x)+C\right)^2 +1.$$

Lorsque j'utilise la condition initiale pour essayer de trouver une solution spécifique, j'obtiens cela $C = \pm 1$.

Ces deux valeurs de $C$ travailler lorsqu'il est replacé dans l'équation différentielle d'origine.

Mais puisque l'ODE est continue pour tous $y\geq 1$ et le $y$ la dérivée partielle est continue pour tous $y>1$, Le théorème de Picard dit qu'il devrait y avoir une solution unique pour la condition initiale $y(0)=2$.

Est-il possible que je puisse tester davantage les deux solutions pour voir laquelle est invalide?

Answer 1

Les deux solutions \begin{align}y_1(x)&=(\sin x-1)^2+1\\y_2(x)&=(\sin x+1)^2+1\end{align}représentent la même fonction mais décalés. C'est,$\sin(x+\pi)-1=-(\sin x+1)$ donc $y_1$ est $y_2$ décalé par $\pi$.

Answer 2

Vous devez également vous assurer que, selon l'équation donnée, $y'(0)=2\cos(0)\sqrt{2-1}=2$, c'est-à-dire que la pente doit être positive. Mais$$ y_1'(x)=2\cos x(\sin x-1)\implies y_1'(0)=-2. $$

Answer 3

La solution $y=(\sin x+C)^2+1$ n'est qu'une solution à votre équation différentielle pour $C> 0$. Dans le processus de résolution de l'équation, vous vous retrouvez avec quelque chose comme:$$\sqrt{y-1}=\sin x+C$$ Puisque c'est la racine carrée positive dont nous avons besoin $\sin x+C\ge 0$ à tous les points où $y$est défini; Si nous voulons$y$ à définir sur un quartier autour $0$ alors nous avons besoin $C>0$. (Pour$C\ge 1$ la solution sera valable pour tous $x$.)

Notez que la fonction $y=(\sin x+C)^2+1$ est toujours une solution à l'équation différentielle $$(y')^2=4\cos^2x\,(y-1)$$pour tous $C$, à la fois positifs et négatifs. Vous avez montré que ce dernier DE avec condition initiale$y(0)=2$ n'a en effet pas de solution unique.