Spectres et mesures en continu
Supposons que j'ai une particule dont je mesure l'élan $p$ avec incertitude $\delta p$. Juste après la mesure, nous savons que sa fonction d'onde est donnée par$\psi(x)=\int g(p)e^{ipx/\hbar}dp$ (restreint à 1D pour plus de simplicité) avec $g$ une certaine fonction qui est $0$ à l'extérieur $p-\delta p$, $p+\delta p$ et avec $\int |g(p)|^2dp=1$.
Que dire de plus sur cette fonction $g$?
J'étais d'accord pour ne pas pouvoir en dire plus mais je dois admettre que, par exemple, nous savons que $g$n'est jamais beaucoup plus concentré qu'il ne le faudrait. Sinon, si nous prenions par exemple le canon de l'expérience Stern-Gerlach (qui jette des atomes d'argent à environ 500 m / s) et le dirigions au milieu d'une porte, nous devrions voir des atomes rebondir de temps en temps. En effet si$g$est extrêmement concentrée, l'onde résultante peut être assez étalée et on peut voir des effets de diffraction. Mais nous ne le faisons jamais.
Réponses
Cela dépend de l'état avant la mesure. Si la fonction d'onde de pré-mesure est donnée par certains$\psi_i(x)$, puis la fonction d'onde post-mesure $\psi_f(x)$ est la projection de $\psi_i(x)$ sur le sous-espace de l'espace de Hilbert qui est cohérent avec vos résultats de mesure.
Plus concrètement, laissez $$\psi_i(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
Si vous mesurez l'élan pour être dans l'intervalle $p\in[p_0-\delta p, p_0 + \delta p]$ alors l'état post-mesure est simplement $$\psi_f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{p_0-\delta p}^{p_0 + \delta p} A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
En remarque, la normalisation n'est pas automatiquement préservée par la mesure, mais ce n'est pas grave car les états quantiques sont des éléments de l' espace projectif de Hilbert et ne sont de toute façon bien définis que jusqu'à une constante multiplicative globale. Il est généralement pratique de normaliser la fonction d'onde, mais notez que vous devrez la re-normaliser après une mesure projective.
"Si l'intervalle dans lequel vous mesurez 𝑝 est suffisamment petit, alors vous pouvez approximer 𝑔 comme une fonction constante sur cet intervalle" Pourquoi?
Parce que tant que $A$ est au moins continue, alors pendant un petit intervalle $g$
ressemble beaucoup à celui-ci
C'est si vous supposez, comme mon manuel le fait très implicitement, qu'on peut en fait approximer 𝑔 avec une constante, mais je ne vois cette hypothèse nulle part dans les postulats.
Non, il s'agit d'une application directe du principe d'incertitude à un paquet d'ondes. Afin d'observer les effets de diffraction, vous avez besoin que l'étalement de votre paquet d'ondes soit au moins du même ordre de grandeur que la taille du trou. Pour par exemple un paquet d'ondes gaussiennes qui sature la relation d'incertitude, la propagation en$p$ est inversement proportionnelle à la propagation de $x$, impliquant qu'une grande délocalisation spatiale correspond à un élan fantastiquement localisé.