Stone-Weierstrass comme théorème.

Question

Laisser $f$ être une vraie fonction continue valorisée sur $[-1,1]$ tel que $f(x) = f(-x),$ pour tous $x \in [-1,1].$ Montrez cela pour chaque $\varepsilon \gt 0$ il y a un polynôme $p(x)$ avec des coefficients rationnels tels que pour chaque $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Comment le prouver? Toute aide sera grandement appréciée.

Merci d'avance.

Answer 1

Prouvons d'abord ce qui suit.

1. Supposer $p$ est un polynôme sur $[-1, 1]$ et laissez $\varepsilon>0.$ Il existe un polynôme $q$ Avec des coefficients rationnels tels que $\|p-q\|<\varepsilon.$

Preuve. Pour voir cela, laissez$\deg(p)=n$ et laissez $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Choisissez des rationnels $b_i$ tel que $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Maintenant, observez cela pour tout $x\in [-1, 1]$ nous avons $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Maintenant, la deuxième chose à prouver est qu'une fonction paire $f$ Peut être approximé par un polynôme pair dans $x^2.$ Je crois (à cause de votre commentaire) que vous n’avez aucune difficulté à le montrer.

J'espère que vous pouvez maintenant voir comment votre réclamation suit.