Structure inversée des matrices M

Question

J'essaie de comprendre la structure d'une matrice M (https://en.wikipedia.org/wiki/M-matrix) dont l'inverse a une forme particulière: Soit $A$ être une matrice M inverse (les M-matrices inverses sont les matrices dont l'inverse est une matrice M, de sorte que chaque somme de ligne de la matrice est une constante fixe (supérieure à 1). Chaque entrée diagonale est strictement supérieure à toutes les entrées diagonales de cette ligne telles que $xa_{ii}\leq a_{ij}\leq ya_{ii}$ $\forall i\neq j$, où $0<x<y<1$. J'essaye de montrer ça$A^{-1}$ aura des entrées diagonales positives inférieures à 1.

Jusqu'à présent, je n'ai pas trouvé de référence sur la raison pour laquelle un tel résultat doit être vrai, mais je n'ai pas non plus pu obtenir de contre-exemple (j'ai essayé des exemples numériques). Intuitivement, je pense que ce sera vrai en raison de la structure spéciale de la matrice, des entrées hors diagonales de$A$sont proches les uns des autres, donc l'inverse aura la structure ci-dessus pour compenser cela. Toute idée ou suggestion sera vraiment utile.

Answer 1

J'ai 2 contre-exemples:

1. Laisser $A= \begin{pmatrix}1.1 & 0.89\\0.89 & 1.1 \end{pmatrix}$, puis $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.6322 &-2.1297\\-2.1297 & 2.6322 \end{pmatrix}$.
   Ici$x=0.8, y=0.9$, donc, $(0.8)(1.1)\leq 0.89\leq (0.9)(1.1)$.
   
2. Laisser $A= \begin{pmatrix}5.1 & 4.9\\4.9 & 5.1 \end{pmatrix}$, puis $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.55 &-2.45\\-2.45 & 2.55 \end{pmatrix}$.
   Ici$x=0.94, y=0.98$, donc, $(0.94)(5.1)\leq 4.9\leq (0.98)(5.1)$.
   Donc, je suppose que l'intuition ne fonctionne pas toujours dans la recherche.