Sur la formule explicite de Soundararajan

Question

Je lis Soundararajan's https://arxiv.org/pdf/0705.0723.pdf, et à la page 5, on a

$$\sum_{n\leq x} \frac{\Lambda(n)}{n^z} \log (x/n) = -\frac{\zeta'}{\zeta}(z)\log x - \Big(\frac{\zeta'}{\zeta}(z) \Big)' -\sum_{\rho} \frac{x^{\rho-z}}{(\rho-z)^2} + O(1/T),$$ où $\Lambda$ désigne la fonction de von Mangoldt, $\zeta$ la fonction zêta de Riemann, $\zeta(\rho)=0, \Re(z) \in (1/2, 2], x\geq 2$ et $|\Im(\rho)|\leq T$. Il me manque peut-être quelque chose, mais le côté droit de la formule ci-dessus n'a-t-il pas$z=1$, ce qui rendrait la formule dénuée de sens à $z=1$?

Answer 1

La formule que vous citez se trouve à la page 8 (et non à la page 5). La somme est sur tous les zéros$\rho$, pas seulement ceux avec $|\Im(\rho)|\leq T$. D'autre part, il y a l'hypothèse$\Im(z)\in[T,2T]$.