Surface de réduction de surface non calibrée

Question

Laisser $(M^{n+k},g)$être une variété riemannienne. Appeler une surface$\Sigma^n \subset M$ calibré s'il y a un fermé$n$-forme $\omega$ défini sur un quartier $U \subset M$ de $\Sigma$ de sorte que $\omega \lvert \Sigma = \mathrm{vol}_\Sigma$ et pour tout $p \in U$ et $n$-tuples $(X_1,\dots,X_n) \in T_p M$ de vecteurs orthonormés $\omega(X_1,\dots,X_n) \leq 1$. (Ceci est légèrement différent de la définition habituelle, où habituellement$\omega$ est défini sur $M$.) Un argument simple montre qu'une surface calibrée $\Sigma$est -réduisant au minimum la zone dans le quartier$U$, et une petite perturbation de $\Sigma'$ de $\Sigma$ aura $\mathrm{Area}(\Sigma') \geq \mathrm{Area}(\Sigma)$. En particulier, une surface calibrée est minimale , c'est-à-dire stationnaire pour la zone fonctionnelle, et a une courbure moyenne$H_\Sigma = 0$.

Il existe de nombreux exemples de surfaces calibrées minimisant la surface:

1. sous-espaces linéaires de $\mathbf{R}^n$,
2. graphiques minimaux de $u: \Omega \subset \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$, où $\Omega$ est un domaine ouvert dans $\mathbf{R}^n$,
3. sous-variétés lagrangiennes spéciales $\Sigma \subset M$ dans les variétés de Calabi-Yau, c'est-à-dire les sous-variétés lagrangiennes de sorte que $\mathrm{Im} \, \Omega \lvert \Sigma = 0$ où $\Omega$ est la forme volumique holomorphe,
4. sous-variétés holomorphes de $\mathbf{C}^n$,
5. cônes de minimisation de surface avec une singularité isolée à l'origine, par exemple le cône de Simons $\mathbf{C}_S = \{ (X,Y) \in \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n \mid \lvert X \rvert = \lvert Y \rvert \}$. (Je pense que ceux-ci sont calibrés à cause des feuillages Hardt-Simon.)

Cependant, je ne peux penser à aucun exemple de surfaces minimisant la surface qui ne sont pas calibrées.

Question : Quels sont-ils? Je suis particulièrement intéressé par le cas de codimension one, où$\Sigma^n \subset M^{n+1}$. Dans quels contextes, ou sous quelles hypothèses, une surface de minimisation de surface ne doit-elle pas être calibrée?

Remarque : je peux formuler une question plus techniquement précise, au prix d'utiliser certains termes de la théorie des mesures géométriques. Laisser$B \subset \mathbf{R}^{n+k}$ être la boule de l'unité, et $T \in \mathbf{I}_n(B)$ être un courant intégral avec $\partial T = 0$ dans $B$. Supposer que$T$est -réduisant au minimum la zone dans le sens que pour certains$\epsilon > 0$ et tous les courants $S \in \mathbf{I}_{n+1}(B)$ avec $\mathrm{spt} \, S \subset \subset B$ et $\mathrm{dist}(\mathrm{spt} \, S,\mathrm{spt} \, T) \leq \epsilon $, $\mathrm{Area} \, (T + \partial S) \geq \mathrm{Area} \, T$. Y a-t-il un quartier de$T$sur lequel il admet un étalonnage? Là encore, je serais très intéressé par le cas$k = 1$.

Answer 1

En fait, un meilleur exemple le long des lignes suggérées par Otis serait la géodésique $\mathbb{RP}^1\subset\mathbb{RP}^2$. Bien sûr,$\mathbb{RP}^1$ est orientable et minimise la masse sur le plan homologué, mais ne peut être calibré sur aucun jeu ouvert $U\subset\mathbb{RP}^2$ contenant $\mathbb{RP}^1$ parce que deux fois ce n'est même pas stable.

Bien sûr, cela fonctionne également pour tout $\mathbb{RP}^{2n-1}\subset\mathbb{RP}^{2n}$, et il existe des exemples de codimension plus élevés de géodésiques fermées dans des espaces de lentilles (orientables) qui minimisent la masse de manière homologue mais qui ne peuvent être calibrés sur aucun voisinage ouvert de la géodésique. On peut même feuilleter$\mathbb{RP}^3$ par des géodésiques homologiquement minimisant la masse qui ne peuvent être calibrées sur aucun voisinage ouvert.

Ce qu'il faut probablement supposer, au moins, c'est que chaque multiple de $\Sigma$ est homologue minimisant la zone dans certains quartiers avant que l'on puisse espérer construire un étalonnage de «voisinage».

Remarque (10/12/20): Je viens de rappeler un exemple d'intérêt possible pour cette question, puisque l'OP s'intéresse à ce qui peut se passer dans l'espace euclidien. Un de mes étudiants, Timothy Murdoch, dans sa thèse de doctorat "Calibrations torsadées et cône sur la surface véronique" (Rice University, 1988), a montré que le$3$-cône dimensionnel dans $\mathbb{R}^5$ sur la surface de Véronèse en $S^4$minimise la surface, mais, bien sûr, il n'est pas orientable. Cependant, sa `` double couverture '' est un cône sur le$2$-sphère et est donc orientable. Je ne sais pas si cette double couverture minimise la surface en$\mathbb{R}^5$ou pas. Il ne peut évidemment pas être calibré, même s'il minimise la surface.

Explicitement, voici l'exemple: Pensez à $\mathbb{R}^5$ comme $S^2_0(\mathbb{R}^3)$, le sans trace $3$-par-$3$ matrices avec entrées réelles dotées de la forme quadratique $\langle a,b\rangle = \mathrm{tr}(ab)$, qui est invariant sous $\mathrm{SO}(3)$ à l'action irréductible $A\cdot a = AaA^{-1}$ pour $A\in\mathrm{SO}(3)$ et $a\in S^2_0(\mathbb{R}^3)$. Puis le cône de Véronèse$C\subset S^2_0(\mathbb{R}^3)$ est l'ensemble des matrices $a$ avec des valeurs propres $t^2,t^2, -2t^2$ pour certains $t\ge0$. C'est un cône sur un$\mathrm{SO}(3)$-surface minimale homogène $\mathbb{RP}^2\subset S^4$connue sous le nom de surface Véronèse. (Noter que$C$ et $-C$ se croisent uniquement à l'origine.) $C$ est lisse sauf à l'origine, et, si vous définissez la `` double couverture '' en comptant chaque point lisse comme deux points avec des orientations différentes, alors la double couverture est homéomorphe à $\mathbb{R}^3$, paramétré par la carte quadratique $s:\mathbb{R}^3\to S^2_0(\mathbb{R}^3)$ Défini par $$ s(x) = |x|^2\, I_3 - 3\,x\,x^T\quad\text{for}\ x\in\mathbb{R}^3. $$ Tim a montré que, si vous prenez la double couverture riemannienne (littérale) de $S^2_0(\mathbb{R}^3)\setminus (-C)$, puis la double couverture de $C\setminus\{0\}\simeq \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ peut être calibré dans le double couvercle ambiant comme un collecteur riemannien.