Système Dynkin généré par un ensemble

Question

Étant donné un ensemble $X$ et une collection de sous-ensembles de $X$, $\mathcal{E}$, qui est fermée sous les intersections finies, nous utilisons $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ pour désigner le système Dynkin généré par $\mathcal{E}$ (c'est-à-dire l'intersection de tous les systèmes Dynkin sur $X$ contenant $\mathcal{E}$).

Ma question est que, pour tout $B\in \mathcal{D}(\mathcal{E})$, si nous définissons l'ensemble $\mathcal{L}_B$ comme suit:

$$ \mathcal{L}_B = \{A\subset X: A\cap B\in \mathcal{D}(\mathcal{E}) \}, $$

(qui est déjà vérifié comme étant un système Dynkin), comment puis-je montrer que $\mathcal{E}\subset \mathcal{L}_B$? N'importe laquelle de votre aide sera très appréciée!

Answer 1

Eh bien, je veux dire ... vous ne pouvez pas le prouver parce que ce n'est pas vrai. Les systèmes Dynkin ne sont en général pas fermés par intersection finie. Alors choisissez$\mathcal{E}$être une classe Dynkin qui n'est pas fermée sous une intersection finie. Par exemple$$ \mathcal{E}=\{\emptyset, (-\infty,1],(0,\infty), (1,\infty),(-\infty,0], \mathbb{R}\} $$ C'est facile de vérifier ça $\mathcal{E}$est un système Dynkin. Par conséquent,$\mathcal{D}(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. Il n'est évidemment pas fermé sous une intersection finie. En particulier, ce n'est pas vrai que$\mathcal{E}\subseteq \mathcal{L}_{(0,\infty)}.$

Vous essayez vraisemblablement de prouver le théorème d'unicité pour les mesures de probabilité, auquel cas vous avez besoin de l'hypothèse que $\mathcal{E}$ est fermé sous intersection finie, auquel cas $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{L}_B$ trivialement.

Answer 2

Laisser $A \in \mathcal E$. $\{B \in \mathcal D (\mathcal E): A\cap B \in \mathcal D (\mathcal E)\}$ Le système Dynkin contient-il $\mathcal E$ (car $\mathcal E$est fermé sous les intersections finies). Par conséquent, il contient$\mathcal D (\mathcal E)$ et c'est ce que nous voulons prouver.