Test d'une fonction continue

Question

Laisser $f$ être une fonction définie dans $[0, 6]$, continu dans $[0, 6]$ et il est fourni d'un troisième dérivé dans $]0, 6[.$Laquelle des affirmations suivantes est fausse ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

Ci-dessous, il y a la question originale en langue italienne. Au-dessus, il y a la traduction.

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Ma tentative de résolution pour trouver la bonne réponse. le$\fbox{A}$ est le vrai être $f$ est continue dans $[0,6]$. le$\fbox{B}$ est vrai pour le théorème de Weierstrass: remarquez que $[0,6]$est un ensemble fermé. Si je pense au polynôme$\deg(p(x))=6$ et $\fbox{C}$pour moi c'est vrai. Pour le$\fbox{D}$ J'ai pensé que si $f$ et il est fourni d'un troisième dérivé dans $]0,6[$, presque pour $f''$ est continue dans $]0,6[$. Je dirais le$\fbox{E}$est faux , mais je ne peux pas le justifier.

Je demande si mon raisonnement est correct ou s'il y a des incohérences.

Answer 1

Pour moi, C est faux si vous comprenez comme un extremum relatif (ou extremum local) un extremum sur un voisinage d'un point à l' intérieur de$[0,6]$. En effet, voici un contre-exemple satisfaisant toutes les hypothèses, qui n'a ni maximum local ni minimum local sur$[0,6]$, bien qu'il ait un maximum et un minimum: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

D'autre part, E est vrai, car si $f'''(5)=7$, c'est positif dans un petit quartier de $5$, dire $I=(5-ε, 5+ε)$ (les dérivés satisfont la propriété de valeur intermédiaire), de sorte que $f''$augmente sur cet intervalle. Par conséquent, si$f''(5)=0$, nous avons $f''(x)<0$ sur $(5-ε,5)$ et $f''(x)>0$ sur $(5, 5+ε)$, pour que $f'$ a un minimum local sur $I$, qui correspond à la définition d'un point d'inflexion.