Testez les équations différentielles exactes.
Je n'ai pas compris la preuve du sens inverse de la déclaration
$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ est exact si et seulement si $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$.
dans le livre Equations différentielles avec applications et notes historiques de George F. Simmons. La direction vers l'avant est assez simple. Pour la direction inverse, il commence par$f = \int Mdx + g(y)$. Il différencie alors partiellement wrt$y$ puis substitue $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ comme $N$. Comment peut-il assumer l'existence d'une fonction$f$ tel que $ \dfrac{\partial f}{\partial x} = M $ et $ \dfrac{\partial f}{\partial y} = N$? Je pensais que c'est ce que nous essayons de prouver que si$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} \implies$ l'équation est exacte, c'est-à-dire qu'il existe une fonction $f$ tel que $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N$.
Si vous ne comprenez pas ma question, dites-moi simplement comment prouver le sens inverse de la première déclaration.
Réponses
Nous devons nous souvenir de toutes les hypothèses concernant ce théorème.
Théorème. Laissez la fonction$M,N,M_{x},N_{y}$ être continu dans la région du rectangle $\mathscr{R}: \alpha<x<\beta, \gamma<y<\delta$. L'équation$$M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$$est une équation différentielle exacte en$\mathscr{R}$ si et seulement si $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$à chaque point de $\mathscr{R}$.
Notez que le théorème dit:
Il existe une fonction $\psi$ équation de satisfaction $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \text{and} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)$$ si et seulement si $M$ et $N$ satisfaire l'équation $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
Preuve: La preuve de ce théorème comporte deux parties.
$(\implies)$ Nous devons montrer que s'il y a une fonction $\psi$ telle que l'équation $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \text{and} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)$$ sont vrais, alors il s'ensuit que l'équation $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$est satisfait. L'informatique$M_{y}$ et $N_{x}$ à partir de l'équation $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \text{and} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)$$on obtient $$M_{y}(x,y)=\psi_{xy}(x,y) \quad \text{and} \quad N_{x}(x,y)=\psi_{yx}(x,y)$$Maintenant, depuis $M_{y}$ et $N_{x}$ sont continus, il s'ensuit que $\psi_{xy}$ et $\psi_{yx}$sont également continus. Cela garantit l'égalité et l'équation$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ est valable.
$(\Longleftarrow)$ Ici, nous devons montrer que si $M$ et $N$ satisfaire l'équation $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$puis équation $$M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$$est l'équation différentielle exacte. Pour cela, la preuve passe par la construction d'une fonction$\psi$ équations de satisfaction $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \text{and} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)$$Ainsi, nous pouvons commencer par intégrer la première des équations ci-dessus par rapport à $x$, en portant $y$ constante (notez que vous pouvez faire un processus similaire intégrant le respect de $y$ et tenant $x$constant). On obtient$$\psi(x,y)=Q(x,y)+h(y)$$où $Q(x,y)$ est une fonction différentielle st $Q_{x}=M(x,y)$. Par exemple, nous pouvons choisir$$Q(x,y)=\int_{[x_{0},x]}M(s,t)ds$$où $x_{0}$ est une constante spécifiée avec $\alpha<x_{0}<\beta$. La fonction$h$ est une fonction différentiable arbitraire de $y$, jouant le rôle de la constante arbitraire par rapport à $x$. Maintenant, il faut montrer qu'il est toujours possible de choisir$h(y)$ de sorte que la seconde des équations $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y), \quad \text{and} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y)$$ est satisfait, c'est $\psi_{y}=N$. Maintenant, en différenciant l'équation$$\psi(x,y)=Q(x,y)+h(y)$$par rapport à $y$ on obtient $$\psi_{y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)+h'(y)\overbrace{=}^{\text{result equal to $N (x, y)$}} N(x,y)$$Ensuite, la résolution de $h'(y)$, nous avons $$h'(y)=N(x,y)-\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)$$Afin que nous puissions déterminer $h(y)$ à partir de l'équation ci-dessus, l'ERS de l'équation $h'(y)=N(x,y)-Q_{y}$, malgré son apparence, doit être fonction de $y$seulement. Maintenant, voici une façon de montrer que cela est vrai est de prouver que sa dérivée par rapport à$x$est zéro. Ainsi, nous différencions l'ERS de$h'(y)=N(x,y)-Q_{y}$ par rapport à $x$, obtention de l'expression $$\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial y}(x,y)=0$$ et interchanger l'ordre de différenciation et depuis $Q_{x}=M$, nous avons $$\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y)$$puis on obtient la fonction requise $\psi(x,y)$.
Remarque: il n'est pas essentiel que la région soit rectangulaire, mais simplement qu'elle soit simplement connectée.
L'auteur définit $f$ être $$f(x,y):=\int M(x,y)\,dx+g(y)$$ où $M$ est la fonction donnée $M$, et $g$une intégration "constante". Il est libre de le faire.
De cette définition découle que
$$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y).$$
Maintenant, différenciant sous le signe intégral,
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M(x,y)\,dx+g(y)\right)=\int \frac{\partial }{\partial y}M(x,y)\,dx+g'(y)$$ ce qui équivaut, par hypothèse,
$$\int \frac{\partial }{\partial x}N(x,y)\,dx+g'(y)=N(x,y)+h(y).$$