Transformations naturelles $Id_{Ab} \rightarrow Id_{Ab}$

Question

Laisser $Id:\frak{Ab} \rightarrow {Ab}$ être le foncteur identité de $\frak{Ab}$(catégorie des groupes abéliens). La classe des transformations naturelles$\eta: Id \rightarrow Id$est un monoïde en fonctionnement défini comme suit:$$\eta \circ \varepsilon = \{\eta_G\}_{G \in \frak{Ab}} \circ \{\varepsilon_G\}_{G \in \frak{Ab}} := \{\eta_G \circ \varepsilon_G\}_{G \in \frak{Ab}}$$L' unité de ce monoïde est la transformation d'identité$id := \{id_G\}_{G \in \frak{Ab}}$.

La tâche est de calculer ce monoïde .

Je suis capable de traduire le problème en théorie des groupes. Je crois que pour tout groupe abélien$G$ Je dois déterminer tous les homomorphismes $\alpha_G: G\rightarrow G$, tel que $\phi \circ \alpha_G = \alpha_H \circ \phi$ vaut pour tous les groupes abéliens $G, H$ et tout homomorphisme $\phi: G\rightarrow H$.

Mes tentatives n'ont fait qu'échouer à fournir des exemples ... Je suppose que les automorphismes de groupe ne fonctionnent pas puisque nous pouvons corriger $\beta: x \mapsto -x$ pour $\mathbb Z$ et $\gamma: x \mapsto x$ pour $\mathbb Z_3$, puis pour $\alpha: \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z_3, x \mapsto x \text{ mod } 3$ la condition $\gamma\circ\alpha=\alpha\circ\beta$ échouera.

Answer 1

$\text{End}(\text{Id})$est en fait un anneau commutatif, pas seulement un monoïde. La commutativité est basée sur l'argument Eckmann-Hilton et l'addition est ponctuelle.

Je crois que pour tout groupe abélien $G$ Je dois déterminer tous les homomorphismes

Vous vous trompez un peu sur les quantificateurs ici, je pense. La question est de déterminer toutes les collections d'homomorphismes$\alpha_G : G \to G$ qui sont naturels dans $G$. Il ne s'agit pas de trouver quelque chose d'un groupe à la fois; vous avez besoin$\alpha_G$ pour chaque $G$ simultanément . Les exemples les plus simples de non-identité sont de prendre chaque$\alpha_G$ être nul $x \mapsto 0$, ou être inversion $x \mapsto -x$ (vérifiez que ceux-ci sont naturels).

Il s'agit a priori de beaucoup de données, vous pourriez donc craindre qu'il existe une grande variété de choix possibles, mais en réalité, la naturalité est une contrainte très forte. Voici une séquence de conseils / d'exercices.

Exercice / Astuce 1: Prouvez qu'une transformation naturelle$\alpha$ comme ci-dessus est déterminé par $\alpha_{\mathbb{Z}} : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$.

Exercice / Astuce 2: Prouvez que chaque choix possible$\alpha_{\mathbb{Z}} : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ s'étend uniquement à une transformation naturelle $\alpha$comme ci-dessus. Conclure que$\text{End}(\text{Id}) \cong \text{End}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ (comme un anneau commutatif, pas seulement comme un monoïde).

Exercice 3: Généraliser cet argument en remplaçant$\text{Ab}$ avec la catégorie $\text{Mod}(R)$de modules sur un anneau, pas nécessairement commutatif. Dans ce cas, c'est encore vrai que$\text{End}(\text{Id})$a la structure d'un anneau commutatif. Quel anneau commutatif obtenez-vous?