Trouver la forme fermée d'une séquence récursive

Question

Je recherche principalement des mots-clés, pour rechercher et étudier des exemples et des techniques sur la façon dont on va chercher l'expression de forme fermée sur une séquence récursive.

J'ai un problème à résoudre, qui ressemble à

$${ a_{n+1} = \frac{ma_n + x}{a_n + y} }$$

(Je n'écris pas les valeurs exactes, car je ne cherche pas une solution, juste des conseils.)

J'ai vu une solution ici , ce qui est incroyable, mais je ne comprends pas comment on y pense.

Answer 1

Ceci est une équation de différence rationnelle du premier ordre (regardez ici ).

$${ a_{n+1} = \frac{ma_n + x}{a_n + y} }=m+\frac{x-m y}{a_n+y}$$ Laisser $b_n=a_n-m$ faire $$\frac{m y-x}{b_n+m+y}+b_{n+1}=0$$ Laisser $c_n=b_n+m+y$ faire $$\frac{m y-x}{c_n}+c_{n+1}=m+y$$ Laisser $p=m y-x$ et $q=m+y$ faire $$\frac{p}{c_n}+c_{n+1}=q$$

Si vous suivez les étapes indiquées dans la page liée, vous devriez obtenir un coething comme $$c_n=\frac{A_n}{B_n}$$ avec $$A_n=K \left(q^2-2 p\right) \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n-K q \sqrt{q^2-4 p} \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n+\left(q^2-2 p\right) \left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n+q \sqrt{q^2-4 p} \left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n$$ et $$B_n=\sqrt{q^2-4 p} \left(\left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n-K \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n\right)+q \left(K \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n+\left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n\right)$$