Trouver une primitive avec une condition donnée

Question

Laisser $f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ être la fonction définie par $f(x) =\max\{1, x^2\}.$ Prouve-le $f$ admet les primitifs sur $\mathbb{R}$ et trouver une primitive $F$ tel que $$4F\left(-\frac{3}{2}\right)-3F\left(\frac{1}{2}\right)=3F(2)$$

J'ai utilisé la formule avec module pour réécrire la fonction mais je ne peux pas penser à une fonction dont la dérivée est une fonction de module. Comment dois-je procéder?

Answer 1

Puisque$$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{ if }x\leqslant-1\\1&\text{ if }-1\leqslant x\leqslant1\\x^2&\text{ if }x\geqslant1,\end{cases}$$une primitive $a$ de $f$ est$$a(x)=\begin{cases}\frac13x^3-\frac23&\text{ if }x\leqslant-1\\x&\text{ if }-1\leqslant x\leqslant1\\\frac13x^3+\frac23&\text{ if }x\geqslant1.\end{cases}$$Donc, chaque primitif $F$ de $f$ est de la forme $a+k$ pour une certaine constante $k$. Un calcul simple montre que le seul$k$ pour lequel l'égalité$$4F\left(-\frac32\right)-3F\left(\frac12\right)=3F(2)$$tient est $k=-\dfrac{28}3$.