Un sous-espace dont le complément orthogonal est {0}

Question

Laisser $L$ être un ensemble de toutes les séquences bornées de $\mathbb{R}$. Ensuite, il est facile de montrer que$L$est un espace vectoriel par rapport à l'addition normale et à la multiplication scalaire. Définir une fonction sur$L \times L$ donné par $$\langle(a_i) , (b_i)\rangle = \sum _{i = 1}^{\infty} {\frac{a_i b_i}{i^2}}.$$

Vérifier que la fonction ci-dessus est un produit interne (produit scalaire) est un calcul de routine.

Le complément orthogonal d'un sous-ensemble $U$ d'un espace vectoriel $L$ est $\,$ $U^* = \{\, A\in L: \, \langle A,B\rangle = 0 \, \text{and}\, \,\text{ for any} \,B\in U \,\}$.

Si l'espace vectoriel est de dimension finie et $\,U$ est un sous-espace alors nous avons de nombreuses propriétés intéressantes comme $U^{**} = U \,$ et tout vecteur dans l'espace vectoriel peut être écrit uniquement comme somme de vecteurs $U$ et $U^*$et beaucoup plus. On observe ici que si$U$ est un sous-espace alors $U^*$ c'est pas possible $\{ 0\}$ parce que le complément orthogonal de $\{0\}$ est l'espace vectoriel lui-même.

Ici évidemment $L$n'est pas un espace vectoriel de dimension finie. Y a-t-il un sous-espace non nul propre de$L$ dont le complément orthogonal est $\{0\}$ ?

Answer 1

Laisser $M:=\{(a_n):\exists m,\ n>m\Rightarrow a_n=0\}\subset L$être le sous-espace des séquences finies. ensuite$M^\perp=\{0\}$.

Preuve: Supposons $(b_n)\in M^\perp$ et envisager pour $m\in\mathbb{N}$, $$(a^m_n):=(1,2^2,\ldots,n^2,\ldots,m^2,0,\ldots)\in M$$

ensuite $$\forall m,\quad0=\langle (a^m_n),(b_n)\rangle=b_1+b_2+\cdots+b_m$$ impliquant $(b_n)=0$.