Une question basée sur l'utilisation du principe du module maximum

Question

Cette question a été posée en détail ce que je fais.

Laisser $\Omega$ être une région bornée et g $\in C(\bar\Omega) \cap H(\Omega)$. Supposons que | g | est une constante non nulle sur$d\Omega$. Si g n'est pas constant sur$\Omega $ alors montrez que g a au moins 1 un zéro dans $\Omega$ .

Le principe du module maximum peut être utilisé et en utilisant l'hypothèse | g | est constante let c on$d\Omega$. Donc, max g$\leq$c. Mais je ne suis pas en mesure de partir de là.

Remarque: Cette question a une réponse ici: Supposons$|f|$ est constant sur $\delta D$. Montre CA$f$ a au moins un zéro dans $D$.

mais je n'ai pas pu déduire comment le demandeur a écrit que 1 / f ne sera pas holomorohique en utilisant le principe du principe Maximum et l'utilisateur 622 ... a été vu pour la dernière fois il y a 7 ans. Donc, je ne pense pas que je devrais lui demander.

Veuillez dire comment dois-je aborder cette question.

Answer 1

Présumer $|g|=c\;\,$sur $d\Omega$.

Par le principe du module maximum, nous avons $|g(z)|\le c$ pour tous $z\in\overline\Omega$.

Depuis $g$ est holomorphe et non constante sur $\Omega$, $g(\Omega)$ doit contenir un sous-ensemble ouvert non vide de $\mathbb{C}$.

Il s'ensuit que $|g|$ est non constant sur $\Omega$, donc si $b$ est la valeur minimale de $|g|$ sur $\overline\Omega$, nous devons avoir $b < c$.

Supposer $b > 0$.

ensuite $g(z)\ne 0$ pour tous $z\in\Omega$.

Par conséquent, selon le principe du module minimal, la valeur minimale de $|g|$ sur $\overline\Omega$ doit se produire à certains $z\in d\Omega$, contrairement à $b < c$.

Par conséquent $b=0$.