Valeur actuelle de la rente différée avec des montants variables

Question

Une rente annuelle paie le montant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (en dollars), le premier versement intervenant à la fin de la deuxième année. La valeur actuelle à$𝑡=0$ de cette rente est de 25 dollars à un taux annuel effectif $i$.

Une autre rente annuelle verse le montant 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (en dollars), le premier versement intervenant à la fin de la première année. La valeur actuelle à$𝑡=0$ de cette rente est $V$ dollars à un taux effectif annuel $i$.

Quelle est la valeur de $V$?

J'essaye de résoudre ce problème depuis deux jours, mais je ne sais pas par où commencer. Dois-je d'abord trouver le taux effectif annuel en utilisant la valeur actuelle donnée? Mon problème avec ceci est que puisque les paiements ne sont pas tous égaux, dois-je les calculer tous individuellement? Ou y a-t-il une formule?

Je vous remercie !!

Answer 1

Laisser $$p(v)=v^2+2v^3+3v^4+4v^5+5v^6+6v^7+5v^8+4v^9+3v^{10}+2v^{11}+v^{12}$$ Depuis $p(0)=0$, $p$ augmente strictement sur $v\geq0$, et $p(v)\to\infty$ comme $v\to\infty$, il y a un unique $r>0$ tel que $p(r)=25$.

Maintenant, $$\begin{align} p(v)&=v^2(1+2v+3v^2+4v^3+5v^4+6v^5+5v^6+4v^7+3v^8+2v^9+v^{10})\\ &=v^2(1+v+v^2+v^3+v^4+v^5)^2\\ &=\left(v\frac{v^6-1}{v-1}\right)^2 \end{align}$$où la deuxième équation est prouvée dans la réponse acceptée à cette question , de sorte que$$\frac{r^7-r}{r-1}=5$$
Laisser $$q(v)=v+2v^2+3v^3+4v^4+5v^5+6v^6+6v^7+5v^8+4v^9+3v^{10}+2v^{11}+v^{12}$$ ensuite $$\begin{align} q(v)-p(v)&=v+2v^2+3v^3+4v^4+5v^5+6v^6-(v^2+2v^3+3v^4+4v^5+5v^6)\\ &=v+v^2+v^3+v^4+v^5+v^6\\&=\frac{v^7-v}{v-1} \end{align}$$ pour que $$q(r)-p(r)=\frac{r^7-r}{r-1}=5$$ et $$q(r)=25+5=\boxed{30}$$