Entropi relatif-maks antara status dan marginnya
Latar Belakang
Entropi relatif kuantum didefinisikan untuk setiap status kuantum $\rho, \sigma$ sebagai
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
Untuk pilihan sewenang-wenang $\rho,\sigma$, entropi relatif kuantum dapat mengambil nilai nonnegatif apa pun. Pertimbangkan beberapa keadaan bipartit$\rho_{AB}$ dan biarkan marjinnya $\rho_A$ dan $\rho_B$. Jika kita pertimbangkan$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, kami memiliki informasi timbal balik. Apalagi kita punya itu
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
Pertanyaan
Analog one-shot dari entropi relatif adalah entropi relatif-maks dan didefinisikan sebagai
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
dimana $A\geq B$ digunakan untuk menunjukkan itu $A-B$adalah semidefinite positif. Seperti entropi relatif biasa, entropi relatif-maks juga dapat mengambil nilai nonnegatif. Jika sekarang saya pertimbangkan$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, apakah ada batasan atas nilai maksimum yang dapat diambil?
Saya yakin jawabannya adalah ya sejak kasus $+\infty$ dikesampingkan karena dukungan dari $\rho_{AB}$ terkandung dalam dukungan $\rho_A\otimes\rho_B$ tapi belum bisa menemukan yang terikat.
Jawaban
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Keadaan yang memenuhi ikatan informasi timbal balik adalah $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ dimana $N = \min(|A|,|B|)$ dan $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ adalah basis untuk $A,B$, masing-masing. Secara intuitif, status ini memaksimalkan entropi marginal sambil mempertahankannya$A$ dan $B$ berkorelasi sempurna.
Negara bagian ini memberi $I_{\max} = \log_2(N)$. Saya belum membuktikan bahwa ini adalah batas atas, tetapi sepertinya tempat yang baik untuk memulai.