Alberi discreti, densi e continui

Question

Supponendo di utilizzare la definizione teorica degli insiemi di un albero:
un insieme$T$ con un ordine parziale $<$ è un albero se ce n'è uno $t \in T$
il set $\{ s \in T : s < t \}$ è ben ordinato da $<$.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_(set_theory)

Sappiamo come definire ordini lineari discreti, densi e continui utilizzando i tagli:

• Un ordine lineare è discreto se ogni taglio di esso è un salto;
• Un ordine lineare è denso se non contiene salti;
• Un ordine lineare denso è continuo se non contiene spazi vuoti.

C'è un motivo per non utilizzare i tipi di ordini negli alberi?
Possiamo definire alberi discreti, densi e continui allo stesso modo?

Il mio tentativo:

Un set $T$ con un ordine parziale $\le$ è un albero discreto (risp. denso, continuo) se ce n'è uno $t \in T$:

1. il set $S = \{ s \in T : s \le t \}$ è totalmente ordinato da $\le$, e
2. l'ordine totale di $S$ è discreto (risp. denso, continuo).

Se aggiungiamo la proprietà di connettività:

1. per due elementi qualsiasi $x$ e $y$ di $T$ c'è un elemento $z$ tale che $z \le x$ e $z \le y$,

sembra che la nuova definizione includa gli insiemi di alberi reali:
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_tree

Ha senso?

Ora, supponendo di aver separato alberi discreti e continui utilizzando il tipo di ordine.

Prendiamo un set $T = \{0\} \cup \mathbb T$ con l'ordine parziale $x < y \iff |x| < |y|$,
dove$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}$ è il cerchio unitario (https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group)
e$0 = (0,0)$ è il centro del cerchio.

Secondo la mia definizione, $T$è un albero discreto.
Ma$T$ contiene un sottoinsieme non numerabile (non discreto) $\mathbb T$.
Che tipo di albero è?

Answer 1

Nel tuo esempio, $(\{0\}\cup\mathbb T,<)$ non conosce gli elementi di $\mathbb T$ formando un cerchio continuo in $\mathbb C$.

Otterresti un albero isomorfo quando prendi un set discreto $X$ con cardinalità $2^{\aleph_0}$ e lascia $T'=\{0\}\cup X$ con $0<x$ per tutti $x\in X$ e gli elementi di $X$ incomparabile.