Annientatore del modulo semplice

Question

Permettere $C$ essere un finitamente generato $R$-algebra dove $R$è un anello commutativo unitale. Permettere$S$ essere un semplice $C$-modulo. Mostra che l'annichilatore di$S$ nel $R$ è un ideale massimale.

Quello che ho provato è: quando $C=R$ quindi è una diretta conseguenza della semplicità di $S$ come un $R$-modulo. Inoltre, da allora$S$ è semplice allora $S$ è ciclico (es $S=Cy$ per diverso da zero $y\in S$). Considera la mappa$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ Poi $\ker(f)$ è l'annichilatore di $S$ nel $C$ e $\ker(f) \cap R$ è l'annichilatore di $S$ nel $R$. Ho dimostrato che è un ideale di$R$ma non ho idea di continuare a mostrare la massimalità. È una vera direzione o c'è qualcos'altro che dovrei considerare per mostrare la massimalità?

Answer 1

Ho un'idea: se restringiamo la mappa $f: C \to S$ sopra $R$. Quindi abbiamo un isomorfismo tra$f(R)=Ry$ e il quoziente $R/(\ker(f) \cap R)$, dove $\ker(f) \cap R$ è l'annichilatore di $S$ nel $R$.

Quindi per mostrare $R/(\ker(f) \cap R)$ è massimo, è sufficiente dimostrarlo $Ry$ è semplice come un file $R$-modulo. Permettere$ry \in Ry$essere un elemento diverso da zero. Allora chiaramente$Ry$ contiene $\langle ry \rangle$ come $R$-moduli. Al contrario, da allora$ry \in Ry \subset S$ è diverso da zero, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Così$Ry = \langle ry \rangle$ per qualsiasi diverso da zero $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ è semplice e $R/(\ker(f) \cap R)$ è massimo.

Per favore fatemi sapere se c'è ambiguità nella mia risposta.