Calcolo della lunghezza dell'arco circolare

Question

Attualmente sto lavorando a un esempio passo passo che calcola la lunghezza di un arco circolare $\gamma$ di raggio $r$ sotteso dagli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$.

L'arco circolare è parametrizzato come $\gamma (t) = c + re^{it}$ per $\theta_1 \leq t \leq \theta_2$.

Per calcolare la lunghezza, dobbiamo calcolare la derivata, $\gamma'$, che è $\gamma'(t)=rie^{it}$.

Quindi dalla definizione di lunghezza, otteniamo $$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt$$

Ho capito tutto fino a questo punto, ma poi la soluzione prosegue semplificando ulteriormente l'integrale, e non capisco perché questo possa essere fatto.

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}dt = r(\theta_2 - \theta_1)$$

Sicuramente integrando, otterresti invece quanto segue?

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}|ie^{it}| dt = r(e^{i\theta_2} - e^{i\theta_1})$$

Qualsiasi aiuto che mostri dove ho sbagliato sarebbe molto apprezzato!

Answer 1

$$ r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|ie^{it}|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i(\cos(t) + i\cdot \sin(t))|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i\cos(t) - \sin(t)|dt $$

Adesso $i\cos(t) - \sin(t)$parametrizza un cerchio unitario sugli assi immaginari reali. Ricorda che il valore assoluto di un numero complesso$|a + bi|$ è fondamentalmente la grandezza come se fosse un vettore: $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. Poiché è un cerchio unitario, la magnitudine sarà sempre 1. Ciò fornisce:

$$r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}1 dt = r(\theta_{2} - \theta_{1})$$