Combinazioni: perché è sbagliato?

Question

Voglio trovare il numero di diversi numeri a 5 cifre in cui 3 delle cifre sono diverse. Ogni cifra può essere dal set (1,2,3,4,5). Supponiamo che io abbia le tre cifre$a,b,c$. Dobbiamo casi

$$a,b,c,a,a \text{ or } a,b,c,a,b$$

Nel primo caso abbiamo $\frac{5!}{3!}$ diverse combinazioni e nella seconda abbiamo $\frac{5!}{2!2!}$. Da$a,b,c$ sono numeri interi diversi dall'insieme $(1,2,3,4,5)$, uno sarà in grado di prendere $5$ valori, si sarà in grado di prendere $4$ valori e uno sarà in grado di prendere $3$valori. Quindi, il numero totale di combinazioni è$(\frac{5!}{3!}+ \frac{5!}{2!2!})\times5\times4\times3=3000$.

Tuttavia, la risposta alla domanda è data per essere $1500$. Qualcuno sa dove ho sbagliato?

Vale la pena notare che ho chiesto qualcosa di molto simile qui , tuttavia, la sezione dei commenti è diventata troppo grande e anche le risposte sembrano suggerire che uso un metodo diverso, ma voglio sapere cosa c'è di sbagliato in questo.

Answer 1

In entrambi i casi hai un doppio conteggio: nel primo, scambiando le posizioni di $b$ e $c$nella stringa e scambiando i loro valori nell'assegnazione restituirà di nuovo la stessa stringa di cifre (ad esempio, 12131può essere ottenuto$abaca$ con $a=1, b=2, c=3$ o come $acaba$ con $a=1, b=3, c=2$). C'è un doppio conteggio simile nel secondo rispetto allo scambio$a$ e $b$.

Answer 2

Hai due casi: 3-1-1 o 2-2-1.

Caso 3-1-1:

1. scegli i tre slot in cui posizionare la cifra ripetuta: $5\choose 3$.
2. scegli le cifre duplicate: 10
3. scegli gli altri due insieme $9 \choose 2$

Questo dà 7200 possibilità.

Gestisci in modo simile il caso 2-2-1.