Come utilizzi effettivamente i campi?
Nota: probabilmente sto usando lettere / notazioni sbagliate qui. Chiedo scusa. Io uso$\omega$ per rappresentare un oggetto, e $\mathcal{U}$è l'universo. Non sono sicuro di come altro farlo.$m(\omega)$ e $x(\omega)$ sono rispettivamente la massa e la posizione dell'oggetto.
Mi sono imbattuto in un blocco stradale nella mia comprensione dei campi. Vale a dire, mi sembra che ci sia un po 'di problemi con loro.
Prendiamo, ad esempio, il campo gravitazionale $\mathbf{G}$. In ogni punto$x$, moltiplicandolo (in $\mathrm{N} \over \mathrm{kg}$) dalla massa di un oggetto dà la forza che quell'oggetto subirebbe in quel punto ($F = \mathbf{G}_{x(\omega)} \cdot m(\omega)$). Da$\mathbf{G}_{x} = \sum_{\omega \in \mathcal{U}}G {m(\omega) \over {\left| x - x(\omega) \right|}^{2}}$, il valore in qualsiasi punto occupato da un oggetto $\omega_{1}$non è definito a causa della divisione per zero. Ma la forza sperimentata da$\omega_{1}$ dovrebbe essere $m(\omega_{1}) \cdot \mathbf{G}_{x(\omega_{1})}$!
Naturalmente, assumendo oggetti non puntiformi si risolve questo problema. Ma gli oggetti più grandi sono costituiti da oggetti puntiformi. A meno che tu non voglia usare la meccanica quantistica qui, ma AFAIK non esiste ancora una teoria quantistica della gravità (?).
Ma, per l'esempio della gravità, questo è probabilmente risolto dalla relatività generale.
Ma questo problema sembra essere un problema in generale per i campi che aumentano senza limiti man mano che la distanza da un oggetto si riduce. Certo, potresti semplicemente dire "Il campo per ogni oggetto è definito solo dagli altri oggetti", ma allora, perché anche il campo? Perché non dire semplicemente che la forza su un oggetto è definita in questo modo? La definizione di un campo, in particolare uno che ha valori altrove rispetto a quelli effettivamente esistenti, sembra inutile. Soprattutto perché avresti bisogno di più campi / un campo iperdimensionale.
Come viene risolto?
Risposte
Le masse puntiformi e le cariche puntiformi sono oggetti intrinsecamente singolari esattamente per il motivo che dichiari. Sono strumenti estremamente utili per scopi di modellazione, ed è proprio così che dovresti pensarli.
In un contesto di teoria dei campi classica, il modo corretto per comprenderli è in senso limitativo. Per definire rigorosamente come si comporterà una massa puntiforme, è possibile sostituirla, ad esempio, con una sfera continua con volume$V$ e densità di massa costante $\rho = M/V$, quindi prendi il limite come $V\rightarrow 0$ mentre si tiene $M$ costante.
Questo processo limitante porta spesso a grandi semplificazioni. Ad esempio, una sfera continua in un campo gravitazionale non uniforme subirà forze di marea e deformazione elastica. Nel limite come$V\rightarrow 0$, queste complicazioni scompaiono e la forza gravitazionale sulla palla converge a un bel valore medio. Inoltre, gli oggetti estesi subiscono coppie attorno ai loro centri, quindi è necessario considerare anche il movimento rotatorio; se prendiamo il limite e consideriamo solo masse puntiformi, allora anche questo grado di libertà rotazionale può essere ignorato.
D'altra parte, se poniamo le domande sbagliate, questo processo limitante non ci dà risposte significative. Se chiediamo il campo gravitazionale alla superficie della nostra sfera continua, otteniamo una risposta perfettamente finita, ma al limite come$V\rightarrow 0$ questa quantità diverge.
Le teorie dei campi come la gravità newtoniana, la GR e l'elettromagnetismo si comportano bene solo quando le sorgenti di quei campi (massa, energia / quantità di moto e carica / corrente) sono trattate come distribuzioni continue. Non appena vengono introdotte sorgenti puntiformi, dobbiamo stare attenti alle domande che poniamo, o rischiamo di incappare in infiniti spuri che alla fine sorgono perché stiamo prendendo un limite mal definito senza rendercene conto.
La definizione di un campo, soprattutto uno che ha valori altrove rispetto agli oggetti effettivamente esistenti, sembra inutile.
Si scopre che quei campi trasportano effettivamente energia e quantità di moto attraverso lo spazio vuoto tra gli oggetti, quindi sono abbastanza necessari a meno che non siate turbati dall'energia e dalla quantità di moto che svaniscono da una regione e successivamente riappariranno in un secondo momento in un'altra regione.
Oltre a questo, osservare piccole particelle rispondere a un'influenza invisibile in uno spazio apparentemente vuoto costituisce un motivo convincente per adottare il punto di vista del campo.
Una massa $M$crea un campo ovunque tranne un punto: il luogo in cui si trova. Se solo un punto fallisce, non credo sia abbastanza drammatico da abbattere tutti i meravigliosi fenomeni che possono essere perfettamente spiegati dai campi.