Considera il gruppo $\mathbb{Z}_{20}$

Question

Considera il gruppo $\mathbb{Z}_{20}$ e lascia $H = \langle [4]\rangle $ essere il sottogruppo generato da $4$. Elenca tutti gli elementi di$\mathbb{Z}_{20}/H$ e mostrano che il quoziente è ciclico.

Penso di avere solo una mancanza di comprensione della terminologia qui. lo so$\mathbb{Z}_{20}/H$ rappresenta solo le cosette di sinistra di $H$, ma da allora $H = \langle [4]\rangle$ è il sottogruppo generato da $4$, cosa significa esattamente?

Capisco come dimostrare che anche il quoziente è ciclico, ecco il mio tentativo:

Se c'è un elemento $a \in G$ tale che $\langle a\rangle = G$, diciamo che G è un gruppo ciclico. Tuttavia, non credo che ne abbiamo necessariamente bisogno qui. Dalla prima parte di questa domanda, se l'ordine è primo, allora per il teorema di lagrange, o meglio un teorema nel mio libro abbiamo che$\mathbb{Z}_{20}/H$ è ciclico e abbiamo finito.

Answer 1

Qualsiasi immagine omomorfa di un gruppo ciclico è ciclica. Quindi puoi ottenere che il quoziente è ciclico considerando la proiezione canonica.

Gli elementi del quoziente sono le classi di equivalenza degli elementi di $\Bbb Z_{20}$ che differiscono per multipli di $4$.

Poiché ci sono cinque elementi in $\langle 4\rangle$, il quoziente ha ordine $4$.

Answer 2

Puoi capire un quoziente in molti modi, il più geometrico (nel caso di gruppi generali) sarebbe come un collasso del gruppo corrispondente nel grafico di Cayley, ma per tornare a un lato più algebrico: qui, $[4]$ è quello che viene chiamato un sottogruppo normale, cioè, le sue cosette di sinistra sono le stesse di quelle di destra, quindi $G/H$è solo l'insieme dei cosets di$H$. I cosets di un sottogruppo$H$ sono le classi di equivalenza definite da $a \sim b \equiv aH = \{ ah | h \in H\} = bH$. Quando fai il quoziente di questo sottogruppo, prendi l'insieme di tutti quei cosetti e gli dai il prodotto naturale$gHfH = gfH$per renderlo un gruppo. Ora intuitivamente vuoi dividere il tuo gruppo tra i modi in cui il tuo sottogruppo può essere "tradotto" o spostato nel tuo gruppo. Qui vuoi sapere come gli elementi di$\mathbb{Z}_{20}$ comportarsi moltiplicando per $4$. Tuttavia, per tutti$g \in \mathbb{Z}_{20}$ hai chiaramente $(g + 4)H = gH$ quindi stai facendo "modulo 4" all'interno $\mathbb{Z}_{20}$, questo è $\mathbb{Z}_{20}/H$ è l'insieme di elementi di $\mathbb{Z}_{20}$ che producono sottogruppi diversi quando moltiplicati con $[4]$Dovresti avere una buona idea di cosa sono con l'osservazione precedente. Ora per dimostrare che è ciclico dovresti provare che è di nuovo isomorfo a un sottogruppo ciclico, il che sarà facile una volta dedotto cosa$\mathbb{Z}_{20}/H$ è.

Answer 3

Un modo è elencare semplicemente gli elementi e farlo da zero:

$\mathbb Z_{20}=\{[0]=(0,20,\cdots),\ [1]=(1,21,\cdots),\cdots, [18]=(18,38,\cdots \ ),\ [19]=(19,39,\cdots \ )\}.$

E $[4]=(4,24,\cdots).$ Adesso, $\mathbb Z$ è abeliano, quindi l'operazione di gruppo è l'aggiunta di coset.

Allora, da allora $[4]+[4]+[4]+[4]+[4]=[0]$ così $\langle [4]\rangle$ ciclico dell'ordine $5$.