Converse al teorema di Darboux

Question

Ho pensato a concetti legati alla differenziabilità. In particolare, essere continuo, avere un'antiderivativa (cioè essere la derivata di qualcosa), e la proprietà del valore intermedio (che soddisfa la conclusione del Teorema del valore intermedio, a volte chiamato essere una funzione di Darboux).

Le funzioni continue hanno l'IVP, dal valore Int Thm, ma il contrario è falso. Le funzioni continue hanno antiderivative, dal Fondo Thm of Calc, ma non è necessario che le derivate siano continue. E le funzioni che sono derivate hanno l'IVP, dal Teorema di Darboux.

L'implicazione che non sono stato in grado di trovare è se le funzioni con l'IVP devono avere antiderivative. I classici controesempi per questi tipi di domande sono le funzioni$f(x)=x^n\sin\left(\frac1x\right)$. Ma se guardiamo, diciamo$f(x)=\sin\left(\frac1x\right)$, questo ha l'IVP, ma quali metodi ci sono per dimostrare che non ha antiderivative dal momento che non possiamo usare il teorema di Darboux?

Answer 1

Una funzione con IVP non ha necessariamente un antiderivativo. La ragione principale è che una funzione IVP può essere estremamente discontinua, mentre una funzione con un antiderivativo no.

Più in dettaglio, la funzione Conway Base 13 è una funzione che ha l'IVP, ma non è continua da nessuna parte.

D'altra parte, se $f$ ha quindi un antiderivativo $f$deve essere una funzione di classe 1 Baire (cioè un limite puntuale di funzioni continue), che possiamo vedere solo guardando la definizione di derivata. L'insieme delle discontinuità di una funzione di classe 1 Baire è sempre un insieme scarso.

Messe insieme, queste due cose mostrano che la funzione Conway è una funzione IVP senza un antiderivativo.