Definizione supremum
Sono solo perplesso da un'osservazione che ho fatto su testi universitari in Analisi reale. I concetti di supremum e infimum non sono particolarmente facili da afferrare per gli studenti che sono freschi sull'argomento, ed è sicuramente molto più facile per loro capire il massimo e il minimo di un insieme (incluso il fatto che potrebbero non esistere) e dei limiti superiori. Tutto quello che devi fare è indicare intervalli come$[0,2]$ e $[0,2)$ e parla del numero 2 e del numero 3. Allora perché non definire il limite superiore minimo di un insieme $S$ (in un campo ordinato) come il minimo (esiste) dell'insieme di tutti i limiti superiori per $S$?
Ho esaminato un gran numero di testi universitari per l'Analisi Reale, e non ho mai trovato questa semplice definizione, o nemmeno la parola "minimo" menzionata. La maggior parte di loro lo definirà usando il modo molto più difficile "è un limite superiore, e per qualsiasi numero strettamente inferiore a esso, ce ne saranno alcuni ecc. Ecc.". Alcuni diranno: è un limite superiore$M$ tale che se $x$ è un limite superiore, quindi $M\leq x$. Ancora una volta, perché non dire "è il minimo dell'insieme di tutti i limiti superiori"? Alcuni diranno semplicemente "è il limite minimo superiore" ma anche questo è un cambio di linguaggio, dal minimo al minimo, e in ogni caso usano "minimo limite superiore" solo come nome per il concetto, quindi continuando a definirlo usando il modo contorto.
Non intendo postare questo come argomento di discussione, solo come una vera domanda sul fatto che mi manchi qualcosa di importante che spiegherà perché è una buona idea definire il supremum in quel modo.
Risposte
Non credo che ci sia alcuna differenza tra il dire che è il "è il limite superiore minimo" o il dire che è il "è il minimo dell'insieme di tutti i limiti superiori".
Permettere $S$ essere un set e lascia $M$essere l'insieme di tutti i limiti superiori. Quindi abbiamo due possibili casi:$\exists \max S$ o $\nexists \max S$:
$\exists \max S$:
Se $\exists \max S$, allora questo significa che $\forall s \in S, s \leq \max S$, quindi questo implica che $\max S \in M$.
Ora, supponiamo che $\max S$ non è il minimo di $M$. Ciò significa che:$\exists m \in M: m < \max S$. Poi,$\forall x \in S, x \leq m$, perché $m$è anche un limite superiore. Ma$\max S \in S$, quindi questo è quello $\max S \leq m$. La proprietà che definisce di$m$ era: $m \in M: m < \max S$. Quindi questa è una contraddizione. Ciò significa che$\max S$ è davvero il minimo di $M$ e quindi $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$:
Ora supponiamo che $\nexists \max S$. Permettere$M$ essere l'insieme di tutti i limiti superiori.
Supponiamo che $\nexists \min M$. Ciò significa che$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Ciò significherebbe che se$a_1 \in M$, poi $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. Ma perché$a_1$ non è un minimo quindi $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. il che significa che possiamo avvicinarci arbitrariamente come vogliamo$s$. Quindi questo significa che possiamo trovare una sequenza$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tale che $\lim _n a_n = s$.
Adesso molla $s_1, s_2 \in S$ tale che $s_1 < s_2$. Quindi possiamo trovare una sequenza$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ tale che $\lim _n a_n = s_1$. Ma perché possiamo avvicinarci arbitrariamente a$s_1$, ciò significa che $\exists k \in \Bbb N:$ Se $n \geq k$ poi $s_1 < a_n < s_2$. Questa è una contraddizione, come$a_n \in M$è un limite superiore. Ciò significa che$\exists \min M$.
Quindi concludi quello $\sup S = \min M$ anche se $\nexists \max S$.
Quindi, per ogni set $S$, $\sup S = \min M$. Puoi fare un argomento simile per dimostrarlo$\inf S = \max M$