Derivate parziali implicite

Question

Diciamo che ho una funzione $F(P,V,T) = 0 $. Utilizzando la regola della catena:$$dF = \frac{\partial F}{\partial P}dP + \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT$$ Ora, se P è costante, abbiamo $dP = 0$ e $dF = 0$ certo, perché $F$è una costante (0). Noi abbiamo:$$dF = \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT = 0 \implies (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}}$$E questo è vero in generale? Correggimi se mi sbaglio per favore. Ora, se abbiamo un'espressione esplicita per$P(T,V)$ possiamo anche dire per la costante P: $$ (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}}$$ MA i risultati non sono sempre gli stessi, perché? P, V e T devono essere indipendenti l'uno dall'altro affinché la prima derivazione sia corretta? Sono davvero confuso e sarò lieto di dare spiegazioni senza essere troppo rigoroso.

Modifica: esempio (dalla fisica):

Dire:$$F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$$

Possiamo risolvere per P:

$$P = N\left(\frac{K_{B}T}{V-Nb}-\frac{aN}{V^{2}}\right)$$

Ora otteniamo: $$- \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}} \neq - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}} $$

Answer 1

Risposta breve

Essi sono gli stessi, tra cui nel tuo esempio. O hai sbagliato l'algebra o hai dimenticato un passaggio chiave alla fine.

Risposta lunga

Sì, i tuoi pensieri sono corretti. Se puoi scrivere$P$ come funzione, quindi per costante $P$ soddisfacente $F(P,V,T)=0$, Noi facciamo abbiamo$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dT}=-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}=-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$.

Caso di esempio

Nel tuo esempio particolare, $F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$ possiamo davvero risolvere $P$ trovare $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$.

Quindi possiamo calcolare le due frazioni. Per$-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}$, otteniamo qualcosa di simile $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$. Ma per$-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$ otteniamo qualcosa di simile $\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+PV^3}$, che sembra diverso. Ma dobbiamo ricordarci di sostituire nel valore costante di$P$ a partire dal $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$. Allora otteniamo$\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)V^3}$, che semplifica fino allo stesso $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$.

Puoi verificare il calcolo con il codice Wolfram / Mathematica:

Wolfram Language (Mathematica) , 458 byte

Print[Simplify[Solve[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T == 0, P]]]
Print[Simplify[-D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), T]/D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), V]]]
Print[Simplify[-D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, T]/D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, V]]]
Print["Why Not the same? Substitute in for P."]
Print[Simplify[(kB N V^3)/(a N^2 (2 b N - V) + P V^3) /. P -> N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2)]]

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