Formula chiusa a $N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right) $

Question

Ho dato a mysel quanto segue

Problema : per$k$ anche e $n\geq k$, si può trovare una formula chiusa per la somma $$ N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right)? $$

All'inizio ho pensato che una sorta di identità di Vandermonde potesse risolvere questo problema. Ora credo che questo sia tutt'altro che banale, se possibile. Voglio essere sicuro di non sbagliarmi.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Notare che $\ds{{k - j \choose j} = 0}$ quando $\ds{j > {k \over 2}}$: La somma può essere eseguita $\ds{\mbox{" up to $\ ds {+ \ infty "}$}}$: \begin{align} {\cal N}\pars{k,n} & \equiv \bbox[5px,#ffd]{% \sum_{j = 0}^{k/2}{n \choose k - j}{k - j \choose j}} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{0}{n \choose k + j} {k + j \choose -j} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{k}{n \choose j} {j \choose k - j} = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}{j \choose k - j} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}\bracks{z^{k - j}} \pars{1 + z}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j} \bracks{z\pars{1 + z}}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\pars{1 + z + z^{2}}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}{1 \over \bracks{1 -2\pars{\color{red}{-1/2}}z + z^{2}} ^{\color{red}{-n}}} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}\on{C}_{j}^{\color{red}{-n}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}z^{j} \end{align}

$\ds{C_{j}^{\pars{\alpha}}}$è un polinomio di Gegenbauer .$$ \implies \bbx{{\cal N}\pars{k,n} = C_{k}^{\pars{\color{red}{-n}}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}} \\ $$

• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = 0}$ quando $\ds{k \geq 2n + 1}$.
• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = {\cal N}\pars{k,n - k}}$.

Trama di $\ds{{\cal N}\pars{k,10}}$: