Gruppo est di $\mathbb{Z}[1/p]$

Question

Sto cercando di calcolare $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}[1/p],\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$.

Ora ho la risoluzione proiettiva $$0\rightarrow \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\alpha} \mathbb{Z}\oplus \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}[1/p]\rightarrow 0 .$$ La mappa $\alpha$ è dato da $(a_i)_{i>0}\mapsto (-\Sigma a_i, a_ip^i)$ e $\beta$ è dato da $(b_i)_{i\geq 0}\mapsto \Sigma_{i\geq 0} b_i/p^i$.

Ora applica il $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$, Voglio calcolare il kernel della mappa dualizzata $\prod_{i>1}\mathbb{Z}\xleftarrow{\alpha^*} \mathbb{Z}\prod (\prod_{i>1} \mathbb{Z})$ che è dato da $(f_0,0,\dots)\mapsto f_0'$ e $(0,\dots,f_i,\dots )\mapsto (0,\dots,p^if_i,\dots )$, dove $f_0': \prod_{i>1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f_0'((a_i))=f_0(\Sigma a_i)$. C'è un modo per vedere cos'è questo kernel e come il quoziente di$\prod_{i>1} \mathbb{Z}$ da questo kernel è $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$?

Answer 1

Facciamolo invece con risoluzioni iniettive. scriverò$A$ per $\Bbb Z[1/p]$. Poi$$0\to\Bbb Z\to\Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z\to0$$ dà una risoluzione iniettiva di $\Bbb Z$. Perciò$\text{Ext}^1(A,\Bbb Z)$ è il cokernel di $$\text{Hom}(A,\Bbb Q)\to\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z).$$ È facile vederlo $\text{Hom}(A,\Bbb Q)\cong\Bbb Q$ attraverso $f\mapsto f(1)$. Cos'è un elemento di$\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z)$? È descritto completamente da$f(1/p^k)=a_k+\Bbb Z$ dove $a_k\in\Bbb Q$ e $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. L'immagine di$\text{Hom}(A,\Bbb Q)$ consiste di quelli $f$ dove $f(1/p^k)=a/p^k$ per alcuni $a\in\Bbb Q$. Possiamo sottrarre uno di questi dal generale$f$ e presumilo $a_0=0+\Bbb Z$ e poi ancora $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. Poi$a_k=b_k/p^k$ dove $b_k\in\Bbb Z$ e $b_k$ è definito modulo $p^k$; anche$b_{k+1}\equiv b_k \pmod{p^k}$. Così il$(b_k)$ rappresenta un elemento $b$ del $p$-adic interi $\Bbb Z_p$.

Abbiamo ancora un po 'di libertà nella scelta $a$; abbiamo bisogno$a+\Bbb Z=f(0)+\Bbb Z$, quindi possiamo ancora cambiare $a$ da un numero intero, che cambia $b$da un numero intero. Quindi il cokernel è isomorfo a$\Bbb Z_p/\Bbb Z$.

Sono sicuro che tutto questo può essere fatto da limiti diretti e inversi ...