Il differenziale della mappa esponenziale

Question

Permettere $G$essere un gruppo di Lie. La mappa esponenziale

$$\exp: T_e G \to G$$

è definito da $\exp (X)=c_X(1)$, dove $c_X$ è la curva integrale massima con punto iniziale $e$ del campo vettoriale invariante sinistro $v_X$ sopra $G$ determinato da $v_X(e)=X$, o più specificamente $v_X(e)=d_e(l_x)X,$ dove $l_x$ è la traduzione a sinistra di $x$ sul gruppo Lie $G$.

Mi chiedo come dimostrare utilizzando solo le definizioni di cui sopra che quando prendiamo il differenziale di $\exp:T_e G \to G$, noi abbiamo

$$d_0(\exp)X=\frac{d}{dt}\exp(tX)|_{t=0}. $$

Nota $d_0(\exp)$ è una mappa $T_0(T_e G)\to T_e G$.

Answer 1

Questa è la definizione del differenziale. Ricordalo quando$f: M\to N$ è una mappatura differenziabili e $x\in M$, poi $$d_x f : T_xM \to T_{f(x)}N$$ è definito come segue: let $X\in T_xM$. Poi c'è una curva morbida$\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M$ così che $\gamma(0) = x$ e $\gamma'(0) = X$(in effetti, questa è più o meno la definizione di un vettore tangente). Quindi per definizione$$ d_x f (X) = \frac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t) \bigg|_{t=0}.$$

Nel tuo esempio $\exp : T_eG\to G$, Poi abbiamo $d_0 \exp : T_0(T_e G) \to T_eG$, fornito da $$ d_0 \exp (X) = \frac{d}{dt} \exp (\gamma (t))\bigg|_{t=0}$$ quando si sceglie $\gamma (t) = tX$, recuperiamo la tua equazione.