L'uniforme è il generatore dell'ideale massimo

Question

Non riesco a capire perché uniformizer sia un generatore dell'ideale massimale in "Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves ", che è il seguente:

$$\text{ord}_p: \bar K[C]_p \to \{ 0,1,\dots \} \cup \{ \infty \}$$

dove $C$ è una curva e $$\text{ord}_p(f) = \sup \{ d \in \mathbb N : f \in M^{d} _p \} , \\ M_p = \{ g \in \bar K [C] : g(p) = 0 \} .$$

Un uniformatore per $C$ a $P$ è qualsiasi funzione $ t \in \bar K [C]$ con $\text{ord}_p(t)＝1$

Silverman dice che l' uniformizer è un generatore per l'ideale$M_p$.

Voglio capire la prova di ciò, cioè l'uniformatore è un generatore. In primo luogo ho cercato di mostrare$t$ è un generatore di $M_p/M_p^2$e usa il lemma di Nakayama. Forse questo è un pensiero eccessivo, credo che questa affermazione abbia una prova abbastanza semplice.

Grazie in anticipo.

Answer 1

Dato $g \in M_p$, poi $g(p) = 0$ così $\DeclareMathOperator{\ord}{ord} \ord_p(g) \geq 1$. Da$\ord_p(t) = 1$, poi $$ \ord_p(g/t) = \ord_P(g) - \ord_p(t) = \ord_P(g) - 1 \geq 0 $$ così $g/t \in \overline{K}[C]_p$ da $\overline{K}[C]_p$ è l'anello di valutazione di $\ord_p$. Allora esiste una funzione$h \in \overline{K}[C]_p$ tale che $g = ht$, così $g \in (t)$. Così$M_p \subseteq (t)$ e l'altra inclusione è immediata.

(Potresti certamente usare il lemma di Nakayama per dimostrarlo. Da allora $M_p/M_p^2$ è $1$-dimensionale e $t \notin M_p^2$, poi $\{t\}$ è una base per $M_p/M_p^2$.)