La categoria con zero morfismi implica zero oggetto?

Question

Permettere$\mathscr{A}$essere una categoria. Allora lo diciamo$\mathscr{A}$è una categoria con zero morfismi se per ogni$A,A'\in\mathscr{A}$c'è un morfismo zero$0_{AA'}\in\mathscr{A}(A,A')$e i morfismi zero obbediscono a un particolare diagramma commutativo (vedi wiki ). Ora supponiamo$\mathscr{A}$ha un oggetto zero$0$. Quindi$\mathscr{A}$è una categoria con zero morfismi e ogni zero morfismo fattorizza attraverso l'oggetto zero in modo univoco. Allora che ne dici del viceversa? Se$\mathscr{A}$è una categoria con zero morfismi, ha necessariamente un oggetto zero? In caso negativo, ci sono dei semplici controesempi?

Answer 1

No, una categoria con zero morfismi non deve necessariamente avere un oggetto zero. Un semplice controesempio consiste nel considerare un anello diverso da zero$R$considerata come una categoria di un oggetto (anche un oggetto$\text{Ab}$-categoria arricchita / pre-additiva), o più in generale un monoide con un elemento zero / elemento assorbente e almeno un altro elemento diverso da zero (ma gli anelli diversi da zero sono belli come esempio comune e familiare di questi).

Ciò che è vero è che data una categoria con zero morfismi c'è un modo unico per confinare un oggetto zero se non ne ha già uno: ha un morfismo unico da e verso ogni altro oggetto, e ogni composizione che coinvolge questi morfismi è zero. Questa costruzione è l'aggiunta sinistra dell'inclusione di (categorie con zero oggetti) in (categorie con zero morfismi), dove in entrambi i casi i morfismi sono funtori che preservano zero morfismi.

Inoltre, se una categoria con zero morfismi ha un oggetto iniziale o terminale, quell'oggetto è automaticamente un oggetto zero e un funtore tra due categorie con zero oggetti che conserva zero morfismi preserva automaticamente zero oggetti. Entro un po' più nel dettaglio in questo post del blog .