Logaritmo di matrici singolari

Question

Volevo calcolare la seguente quantità:

$X=Tr[\rho_1 \log[\rho_2]]$,

come nell'entropia relativa . Qui,$\rho_1, \rho_2$ sono matrici semidefinite positive con supporto non ortogonale (in modo che la cosa non diverga - termini come $0 \log[0]$ dovrebbe essere portato a zero, che è un'ipotesi standard) e $Tr$ è traccia.

C'è una domanda SE simile , la funzione data

MatrixLogSafe[x_] := MatrixFunction[Piecewise[{{Log[#1], #1 > 0}}] &, x]

che dovrebbe fare i conti con il logaritmo della matrice, si comporta però in modo strano.

Per esempio lo presumo $\rho_1 =\rho_2 =\{\{0.33,0,0\},\{0,0,0\},\{0,0,0.66\}\}$. La quantità$X$ dovrebbe quindi essere

$X=0.33 \log[0.33] + 0.66 \log[0.66]= -0.640099$.

Tuttavia, l'utilizzo di MatriLogSafe nella definizione fornisce un output diverso:

In[402]:= Tr[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}.MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]]

Out[402]= -0.731717

Il problema è che MatrixLogSafe a volte "cambia gli autovettori",

In[403]:= MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]

Out[403]= {{0., 0., 0.}, {0., -0.415515, 0.}, {0., 0., -1.10866}}

(così $\log[0.33]= -1.10866$ e $\log[0.66]=-0.415515$, ma l'output dovrebbe essere {{-1.10866, 0, 0.}, {0., 0., 0.}, {0., 0., - 0.415515}}).

(In qualche modo penso che il problema sia che uso valori numerici, ma voglio che la funzione funzioni sia per numeri numerici che "esatti" (?))

Come si può rimediare?

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Ho considerato la risposta data da Carl Woll, tuttavia ancora qualcosa non funziona. In particolare, si considerano due matrici,$\rho_1$:

{{1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/
  4}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4}}

e $\rho_2$:

{{1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/(
   4 Sqrt[E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E])}}

che sono forse brutti, ma entrambi sono ermitiani e positivi-semi-definiti.

Divento comunque complesso $X$ ($X=densityTrace[\rho_1,\rho_2]=-0.0019613 + 0.393667 I$), che non può essere!

Tuttavia, se calcolo prima le matrici numeriche ottengo un output reale $densityTrace[N[\rho_1],N[\rho_2]]=-0.0432473$ (?!)

Ho leggermente cambiato la definizione di densityTrace

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
{λ, S} = Eigensystem[b];
S = Transpose[S];
d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
Total @ MapThread[If[Chop[#1]==0,0,Chop[#1] Log[Chop[#2]]]&, {d, λ}]

]

(aggiungendo Chop), per sbarazzarsi di qualche piccolissimo "spreco" immaginario, è una buona idea?

Answer 1

Forse puoi usare Eigensystemper trasformare la tua matrice singolare$\rho_2$ in $S.d.S^{-1}$, quindi utilizza la proprietà ciclica di Tr. Questo è:

$$ \begin{align} \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(\rho_2) \right)}&= \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(S . d . S^{-1})\right)} \\ &= \text{Tr}{\left(\rho_1 . S . \log(d) . S^{-1} \right)}\\ &= \text{Tr}{\left(S^{-1} . \rho_1 . S . \log(d)\right)}\\ &= \text{Diagonal}{\left( S^{-1} . \rho_1 . S\right) . \log (d)} \end{align} $$

Un po 'di codice che implementa questa idea:

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
    {λ, S} = Eigensystem[b];
    S = Transpose[S];
    d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
    Total @ MapThread[If[#1==0,0,#1 Log[#2]]&, {d, λ}]
]

Per le tue matrici di esempio:

m1 = m2 = DiagonalMatrix[{.33, 0, .66}];
densityTrace[m1, m2]

-0.640099

Answer 2

Probabilmente è più facile rilevare la singolarità prima:

MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] /; Det[x] > 0 := MatrixLog[x];
MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] := ConstantArray[0, Dimensions[x]];

Potrei sbagliarmi sulla condizione esatta di cui hai bisogno. In ogni caso, non mi aspetto MatrixFunction[Piecewise[...]]di farti molto bene. Non sono nemmeno sicuro di cosa # > 0dovrebbe fare la condizione all'interno di MatrixFunction.