Metodo per la ricerca di CDF marginale

Question

Vorrei calcolare la CDF marginale di una funzione di distribuzione di probabilità congiunta. Tuttavia, non sono sicuro dei limiti che dovrei usare e desidero verificarli. Supponiamo che io abbia l'espressione:

$$f_{XY}(x,y)=x^2y$$ $$-1<x<1$$ $$0<y<\sqrt{3}$$

Vorrei calcolare la CDF marginale. Se desidero farlo, posso applicare la relazione:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,y)$$

E calcolo il CDF cumulativo come segue:

$$F_{XY}(x,y) = \int_0^y \int_{-1}^xu^2v\,du\,dv = \frac{(x^3+1)y^2}{6}$$

Credo che questi siano i limiti corretti perché $f_{xy}$è zero rispetto a X e Y quando x <-1 o y <0. Quindi i limiti inferiori devono essere -1 e 0. Anche i limiti superiori sembrano propri, non ultimo motivo è che se lascio x = 1 e$y=\sqrt{3}$, Finisco con F = 1. Se ora desidero calcolare il CDF marginale rispetto a X, farei:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,\infty)$$

Ma la semplice sostituzione produce una risposta non legata, il che non può essere il caso, poiché le probabilità vanno da 0 a 1. Quindi le mie domande sono (1) posso calcolare il CDF marginale direttamente dal PDF o PDF marginale e (2) dovrei usare il vincolato $\sqrt{3}$quando si calcola la CDF marginale utilizzando la relazione direttamente sopra? Credo che dovrei usare$\sqrt{3}$, poiché se considero il pdf, è zero quando $y>\sqrt{3}$, e poiché la natura a tratti della funzione pdf implica che la probabilità di Y è 1 quando $y>\sqrt{3}$.

Answer 1

Innanzitutto, sì, puoi calcolare il CDF marginale dal PDF congiunto:

$$P\left(X \leq x\right) = \int^{x}_{-1} \int^{\sqrt{3}}_0 f_{XY}\left(x,y\right) dy\,dx.$$

Secondo,

$$\lim_{y\rightarrow\infty} F_{XY}\left(x,y\right) = F\left(x,\sqrt{3}\right)$$

per i motivi che descrivi.

Answer 2

Vicino. Dovresti includere i supporti e oltre nella tua CDF. Perché i limiti verso l'infinito tenderanno verso l'alto$1$, come hai notato , quindi dovrebbe essere indicato.

$$\begin{align}\mathsf F_{\small X,Y}(x,y)&=\dfrac{\small((x^3+1)\mathbf 1_{-1\leqslant x<1}+2\cdotp\mathbf 1_{1\leqslant x})(y^2\mathbf 1_{0\leqslant y<\surd 3}+3\cdotp\mathbf 1_{\surd 3\leqslant y})}{6}\\[3ex]&=\begin{cases}0&:& x<-1\text{ or }y<0\\(x^3+1)y^2/6&:&-1\leqslant x<1, 0\leqslant y<\surd 3\\y^2/3&:&1\leqslant x, 0\leqslant y<\surd 3\\(x^3+1)/2&:&-1\leqslant x<1,\surd 3\leqslant y\\1&:& 1\leqslant x, \surd 3\leqslant y\end{cases}\end{align}$$

Il che, ovviamente, mostra anche come ottenere la CDF marginale.