Orbita con crash

Question

Supponiamo che io spari a un oggetto da un'alta torre orizzontale alla superficie terrestre. Per quanto ho capito, a seconda della velocità otterrò diversi tipi di orbite. Con velocità decrescente andrò da

1. orbita iperbolica dove il punto focale è il centro della terra
2. orbita parabolica dove il punto focale è il centro della terra
3. orbita ellittica dove il centro della terra è il punto focale più vicino alla torre
4. orbita circolare dove il centro della terra è il centro del cerchio
5. orbita di schianto

La mia domanda riguarda l'ultima orbita. Se la terra fosse trasparente per l'oggetto lanciato, ...

L'orbita 5 sarebbe un'ellisse con il centro della terra nel punto focale più lontano dalla torre ?

Answer 1

La risposta è sì , anche se nel tuo caso non ha senso parlare di "orbita" mentre l'oggetto si schianta sulla superficie del pianeta.

Come esperimento mentale, però, puoi pensare alla Terra come a una particella puntiforme e al tuo oggetto sparato nello spazio lontano dalla superficie. Quindi, quando la sua traiettoria inizia a "piegarsi" verso il basso, non colpisce la superficie della Terra e può propagarsi.

Questo è esemplificato al meglio nella seguente immagine da qui , dove il pianeta blu sarebbe la mia Terra "puntiforme":

Per completezza, potrebbe valere la pena ricordare che per soluzioni di vuoto sfericamente simmetriche in cui gli effetti GR sono importanti, c'è una correzione al potenziale di Newton che in realtà si traduce in un'orbita circolare stabile più interna ($R_{\text{ISCO}}$), al di sotto del quale ci sono orbite che precipitano .

Answer 2

trasparente per l'oggetto lanciato

Vale la pena menzionare qui un'alternativa alle orbite puntiformi. Supponendo che la Terra fosse letteralmente trasparente all'oggetto, ma tutta la massa era ancora lì, distribuita su tutto il volume.

Assumendo una densità uniforme, ora abbiamo un campo di forza centrale a cui la gravità è proporzionale $r^1$ a causa del teorema di shell, a differenza del caso punto-massa in cui la gravità è proporzionale a $r^{-2}$.

Tali campi di forza hanno anche orbite periodiche stabili (in realtà l'unico altro esponente di $r^{-2}$ che li ha), ma con alcune differenze notevoli.

• Tutte le orbite sono ellittiche senza eccezioni, poiché non possono esserci traiettorie di fuga.
• Le orbite ellittiche hanno il centro della Terra nel loro centro geometrico, non in un punto focale, il che significa che finisci di nuovo sulla superficie sul lato opposto del pianeta.

In pratica, però, la densità della Terra non è uniforme, quindi non ne abbiamo una netta $r^1$ campo di forza per le orbite del tunnel.