$p$-adic rappresentazione

Question

Sto leggendo $p$-adic rappresentazione. Non riesco a capire come$p$-la rappresentazione adica è una sorta di immagine speculare della base $p$ rappresentazione di numeri reali.

Dato $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ con

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

possiamo scrivere $\alpha$ come $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Non riesco a capire come possiamo aggiungere e moltiplicare $p$numeri caduti. Qualcuno potrebbe spiegare con un esempio concreto? Possibilmente ($\cdots 555.5)^2$ in $\mathbb Q_{7} $ da quando l'ho letto e non riesco a capire affatto?

Answer 1

Il mio consiglio è questo: prepara per te una tabella di addizione e una tabella di moltiplicazione per numeri interi $0,1,\dots,6,7$, che sono annotati $0,1,\dots,6,10$in notazione settaria. Quindi procedi con la tua moltiplicazione esattamente nello stesso modo in cui (spero) hai imparato alle elementari, con i carry e così via. Vedresti uno schema, da allora$\dots555;5$ è il numero razionale $\frac{-5}{42}$, ma ci vuole un po 'prima che venga visualizzato. A trenta posti, il tuo quadrato di cui sopra risulta essere$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Anche se ne ho fatti molti $p$-calcoli periodici di questo tipo a mano, ti assicuro che per questo calcolo ho avuto l'ausilio di un pacchetto che gestisce $p$numeri caduti.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ e $\Bbb{Q}_7$ sono il completamento di $\Bbb{Z}$ e $\Bbb{Q}$ per il valore assoluto $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Quindi funziona allo stesso modo di$\Bbb{R}$ il completamento di $\Bbb{Q}$ per $|.|_\infty$. Approssimate concretamente la vostra serie$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ di $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, moltiplicare come numeri razionali standard, si ottiene un'approssimazione di $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$