Perché l'azione di Z controllata è inalterata scambiando qubit di controllo target?

Question

Nel libro "Quantum Computer Science", quando si spiega il codice di correzione degli errori, si usa questa immagine e si dice "l'azione di z-controllata è inalterata scambiando i qubit target e di controllo".

Questo significa che l'atto di cZ (control ancilla qubit e target codeword qubit) è uguale a cz (control codeword qubit e target ancilla qubit)? Se è così, perché è così?

Nella mia comprensione, | 1> Z | 0> (il primo qubit è il qubit di controllo) non è uguale a Z | 0> | 1> (il secondo qubit è il qubit di controllo).

Answer 1

Se abbiamo uno stato arbitrario a due qubit:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

poi dopo l'applicazione $CZ_{1 \rightarrow 2}$ controllato dal primo qubit otterremo:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

perché l'operazione di controllo funziona quando il qubit di controllo è $|1\rangle$ e $Z$ gate cambia il segno dell'ampiezza del $|1\rangle$ stato, quindi $CZ_{1 \rightarrow 2}$ l'azione sta cambiando il segno del $|11\rangle$.

Ora l'azione di $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Lo stesso vale qui solo il segno del $|11\rangle$dovrebbe essere cambiato per ragioni simili. Questo può essere visto anche utilizzando matrici:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$