Picard-surjectivity e Morita-equivalence

Question

Diciamo che un'algebra $A$ su un campo $k$ è Picard-surjective se la mappa canonica $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$è suriettivo. Qui$\mathrm{Pic}(A)$ denota il gruppo di classi di isomorfismo invertibile $A$-$A$-bimoduli e la mappa invia un automorfismo $\alpha$ al $A$-$A$-bimodulo $A_\alpha$, dove l'azione di sinistra è la solita e l'azione di destra è via $\alpha$.

D: Per ogni dato dimensionale finito$k$-algebra $A$, esiste un equivalente di Morita che sia Picard-surjective?

In caso contrario, mi interessano le condizioni in cui ciò è vero. Sono principalmente interessato al caso$k=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, e per tutti gli esempi che ho fornito finora, questo sembra essere corretto, per quanto ne so.

Answer 1

Sì, l'algebra di base di $A$ sarà Picard-surjective.

L'algebra di base è l'algebra dell'endomorfismo $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$della somma diretta di moduli proiettivi (a destra) indecomponibili, uno per ogni classe di isomorfismo. È Morita equivalente a$A$.

Supponiamo $A$è fondamentale. Quindi come modulo sinistro o destro,$A$è la somma diretta di moduli proiettivi indecomponibili, uno per ogni classe di isomorfismo. Supponiamo$M$è un bimodulo invertibile. Da$S\otimes_AM$ è diverso da zero per ogni modulo semplice $S$, una scomposizione somma diretta di $M$come modulo di sinistra deve contenere almeno una copia di ogni proiettiva indecomponibile. Permettere$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ essere la somma diretta di semplice (a destra) $A$-moduli, uno per ogni classe di isomorfismo. Da$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, come modulo sinistro $M$deve contenere esattamente una copia di ogni proiettiva indecomponibile in una scomposizione a somma diretta. Così$M\cong A$come moduli di sinistra. La destra$A$-modulo struttura di $M$ è quindi dato da un omomorfismo algebrico iniettivo $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, che è un isomorfismo per dimensionalità finita: cioè, l'azione giusta è indotta da un automorfismo di $A$.