Potenziale per $A\,\nabla V$

Question

Permettere $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ liscio, lascia $A$ matrice di dimensione reale invertibile $n\times n$. Considera il seguente campo vettoriale$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ È possibile determinare qualche condizione su $A$ tale che $F$ ha un potenziale, cioè esiste $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ tale che $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ In particolare mi interessa il caso $A$ matrice diagonale.

Answer 1

Questo è assolutamente falso, anche nel caso diagonale. Ecco due esempi (seguendo i miei commenti).

(1) Prendi $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ e $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. Poi$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ non è conservatore.

Nota, tuttavia, che se ci atteniamo alla matrice di rotazione e prendiamo $V$ essere armonico, quindi $A\nabla V$ avrà nuovamente il ricciolo $0$. Ad esempio, con$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, noi abbiamo $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. Non a caso qui otteniamo il coniugato armonico.

(2) Prendi $V(x,y) = xy$ e $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. Poi$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ non è conservatore a meno che $a=b$.