Probabilità su MCQ

Question

Ci sono 3 domande Vere o False in un esame, se un candidato conosce la risposta risponde correttamente, altrimenti viene fatta un'ipotesi e la probabilità di ottenerla giusta è 1/2, un esaminatore presume che ogni candidato non conosca la risposta , 1 risposta, 2 risposte, 3 risposte con pari probabilità, un candidato ha risposto correttamente a due delle tre domande, qual è la probabilità che questo candidato conosca la risposta solo a una di esse?

(A) 1/11. (B) 2/11. (C) 3/11. (D) 4/11.

Quindi per la probabilità richiesta il numeratore deve avere la condizione che su 2 ipotesi 1 sia corretto e un altro no, quindi la probabilità può essere $3C2$ × $1/2$ × $1/2$ ma quale sarà il denominatore?

Answer 1

Eseguiamo un calcolo più dettagliato, trovando la probabilità che lo studente ha ottenuto $y=2$ giusto e sapevo $x$ per $x=0,1,2$: $$P(y=2\mid x=0)=\binom32(1/2)^3=\frac38$$ $$P(y=2\mid x=1)=\binom21(1/2)^2=\frac12$$ $$P(y=2\mid x=2)=\frac12$$ (Non è necessario calcolare per $x=3$ poiché in quel caso avremmo $y=3)$. Infine, per probabilità totale e da allora$x=0,1,2,3$ con uguale probabilità, $$P(x=1\mid y=2)=\frac{1/2}{3/8+1/2+1/2}=\frac4{11}$$