Questa è la prova che $\sin(x^2)$ è continuo $\mathbb{R}$ corretta?

Question

Sto cercando di dimostrare il risultato specificamente con epsilon-delta, piuttosto che con la composizione di funzioni continue.

Dobbiamo dimostrare:

$$\forall c \in \mathbb{R} \forall \epsilon>0\exists\delta>0\forall x\in \mathbb{R}(0 < |x-c| < \delta \rightarrow |\sin(x^2)-\sin(c^2)| < \epsilon)$$

Da $\sin(x^2)-\sin(c^2) \leq 2|\sin(\frac{x^2-c^2}{2})| \leq |x^2 - c^2|$, se riusciamo a trovare un file $\delta$ tale che $|x-c| < \delta \rightarrow |x^2 - c^2| < \epsilon$, abbiamo chiuso.

Prendere $\delta = \min\{\frac{\epsilon}{|3c|},|c|\}$. Poi abbiamo$|x-c|<\delta \rightarrow x < |c|+c \leq |2c|$. Ciò significa che$\frac{\epsilon}{|3c|} < \frac{\epsilon}{|x+c|}$. Ma lo supponiamo$|x-c| < \frac{\epsilon}{|3c|}$, quindi abbiamo

$$|x-c| < \delta \rightarrow |x-c|< \frac{\epsilon}{|x+c|} \rightarrow |x-c||x+c| < \epsilon \rightarrow |x^2 - c^2| < \epsilon$$

e quindi $|\sin(x^2) - \sin(c^2)|<\epsilon$ e la prova è completa. $$\tag*{$\ blacksquare$}$$

Sto specificamente cercando di vedere se la mia logica con la scelta di $\delta$è corretto e se funziona con i segni del modulo. In particolare, non ero del tutto sicuro del modo migliore per riferire i termini$|x-c||x+c|$ e $|x-c|$, poiché il prodotto più grande o più piccolo dipende da quanto è vicino $x$ è quello di $c$.

Answer 1

Alcuni commenti -

1. L'identità trigonometrica algebrica senza nome dovrebbe essere dichiarata. Dopo che questo è stato utilizzato, il problema principale che hai è in realtà solo la continuità di$x^2$ (che è simile nello spirito al risultato "la composizione del continuo è continuo" che stai evitando)

2. Se $c=0$, quindi la tua scelta di $\delta$ è apparentemente $0$. Questo non è consentito. Ulteriore,$\frac1{|c|}(=\infty?)$appare nelle righe seguenti; dovresti sempre aver paura di dividere per zero.

3. Hai dimostrato $x+c \le 3|c|$. Perché questo implica$|x+c|\le 3|c|$?

Ecco una soluzione. A partire dal$|x|\le |c|+|x-c|\le |c|+\delta$, $$|x+c| \le |x|+|c| \le 2|c|+\delta.$$ Adesso molla $$\delta = \min (1,\frac{\epsilon}{2|c|+1}).$$ Vedi se riesci a finire.