Un insieme limitato nello spazio euclideo con interno non vuoto ha un raggio massimo della sfera

Question

Sto cercando di rispondere alla seguente domanda. Supponiamo$S \subseteq \mathbb{R}^n$è limitato e ha interno non vuoto. Mostra che c'è un$r \in (0, ∞)$tale che$S$contiene una pallina$B_r(x)$di raggio$r$, ma non contiene pallina$B_R(x)$di raggio strettamente maggiore di$r$.

Questo è quello che sto provando. Permettere$r = \text{sup }\{t \mid B_t(x) \subseteq S \text{ for some } x \in \mathbb{R}^n \}$. Da$S$è delimitato e ha l'interno non vuoto,$r \in (0, ∞)$. Devo dimostrarlo$r$è infatti un massimo.

Non sono sicuro di dove andare dopo. Il mio istinto è di prendere una sequenza crescente$(r_m)$che converge a$r$con i punti corrispondenti$(x_m)$tale che$B_{r_m}(x_m) \subseteq S$, e produrre una palla di raggio$r$contenuto in$S$.

Answer 1

Parlerò di palle aperte. Lascia per ogni$r>0$ $B_r$sia l'insieme dei centri delle sfere di raggio$r$dentro$S$. Da$S$è limitato,$B_r$è vuoto per ogni$r>R$per alcuni$R$. Da$S$ha interno non vuoto,$B_r$non è vuoto per alcuni$r$. Permettere$u$essere il supremo di tutti$r$tale che$S_r$non è vuoto (chiaramente$u\le R$). Quindi$S$non può contenere sfere di raggio$>u$. Ma per ogni abbastanza grande$n\gg 1$contiene una palla di raggio$>u-1/n$con centro$x_n$. La sequenza$x_n, n\ge 1$è limitato, quindi ha una sottosuccessione che ha un limite$x$. Quindi per ogni sufficientemente grande$m>0$esiste una palla$B(x,u-1/m)$dentro$S$. Poi tutta la palla$B(x,u)$è dentro$S$, Così$B_u$non è vuoto. Così$u$è il raggio massimo della palla in$S$.$\Box$