2 차 상호성을 사용하여 다항식의 근 찾기
다항식이 $X^2− X + 19$ 뿌리를 내리다 $\mathbb Z/61\mathbb Z$? 이 문제를 해결하는 방법을 잘 모르겠지만 아래 문제에서 이러한 문제에 접근하는 방식을 설명했습니다.
2 차 $X^2 -59$ 뿌리를 내리다 $\mathbb Z/61\mathbb Z$?
지금까지 내가 한 것은 $59$2 차 잔차입니다. 즉, 무엇입니까$59/61$? 호혜로 우리는$59/61 = 61/51 = 10/51$ 이후 $61 ≡ 10\bmod51$. $10$ 소수가 아니므로 다음과 같이 고려합니다. $(2/51)*(5/51).$ 그러나 $2/51$ 이다 $-1$ 이후 $3 ≡ 51\bmod8$. 그래서 우리는 그것을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.$-1 * (5/51)$, 그리고 상호 $5/51 = 51/5 = 1/5$ 이후 $1 ≡ 51\bmod5$. 그래서$-1*(5/51) = - (1/5) = -1 (1) = -1$, 그래서 $x^2 - 59$ 뿌리가 없습니다.
답변
$$x^2-x+19\equiv x^2-x-42=(x+6)(x-7).$$ 이제 끝낼 수 있습니까?
광장을 완성하십시오.
$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$
$\iff (2X-1)^2\equiv-75\equiv47\equiv169=13^2\bmod61$
$2X-1\equiv\pm13\bmod61$
$2X\equiv 14$ 또는 $-12\bmod 61$
$X\equiv7$ 또는 $-6\bmod 61$
이차를 푸는 일반적인 방법은 제곱을 완성하는 것입니다. 당신이 가지고 있다면$ax^2+bx+c \equiv 0 \pmod{p}$ 그런 다음 사각형을 완성하면 $y^2\equiv d \pmod{p},$ 어디 $y = 2ax+b$ 과 $d=b^2-4ac.$
좋은 점은 $y$ 원래 왼쪽의 파생물이고 $d$2 차의 일반적인 판별입니다. 따라서 문제는 다음과 같습니다.
$y = 2x+1$ 과 $d=1^2-4\cdot 19 = -75$.
그래서 만약 $-75$ 2 차 잔사입니다. $y$ 그리고 차례로 $x$.