2 큐 비트 상태 + 탈분극 채널 = 벨 대각선 상태?
여러 소스 (예 : RGK , KGR )에서 두 큐 비트 상태를 취하여 탈분극 채널을 통해 전송하면 결과 상태가 벨 대각선 상태 가된다고 (증거없이) 명시됩니다 . 나는 이분 벨 대각선 상태가$\rho_{AB}$ 형식은 다음과 같습니다.
$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ 어디 $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$일반적인 벨 상태입니다. 탈분극 채널의 작용$\mathcal{E}$ 두 큐 비트에서 다음과 같이 정의됩니다.
$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ 어디 $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$Pauli 운영자입니다. 왜 그러나, 나는 보이지 않는 어떤 양자 밀도 연산자는 벨 대각선 상태로 변환된다. 이 주장에 대한 증거가 있습니까?
답변
첫째, 모든 Bell 상태는 $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ 고유 상태 $E_i\otimes E_i$ 모든 $i$ (고유 값은 다음 중 하나입니다. $\pm 1$). 따라서 종-대각선 상태는지도의 작용에 따라 종-대각선 상태로 유지됩니다. 이것은 이미 종-대각선 상태가지도의 최종 목적지가 될 가능성이 있음을 시사하지만이를 증명해 보겠습니다.
임의의 상태 고려 $|\Psi\rangle$. 이것은 Bell 기준으로 분해 될 수 있습니다.$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ 우리는 $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ 과 $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. 예를 들어 계산하면$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ 그러면 다음과 같은 교차 용어가 제거됩니다. $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$
비슷하게, $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ 과 $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$, 그래서 다음과 같은 용어 $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$또한 녹아웃됩니다. 궁극적으로 남은 유일한 용어는$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$즉, 상태는 Bell 대각선입니다.
엄밀히 말해서이 모든 것을 조심스럽게 모으려면 $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ 과 $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ 두 사람은 내가 만든 두 단계가 어떻게 잘 맞는지 봅니다.