Atiyah-Macdonald의 발의안 11.20 증명
나는 발의안 11.20의 증명에서 주장 된 극 순서 불평등을 확인하는 데 어려움을 겪고 있습니다. (제안의 전체 진술 및 증거는 여기에서 찾을 수 있습니다 : Atiyah-Macdonald 11.20 및 11.21 )
제 질문은이 불평등을 증명하는 방법입니다.
책의 다양한 문제를 다루는 여러 온라인 리소스를 찾았지만이 특정 문제에 대해서는 아무것도 찾지 못했습니다. 이 책에서 주제를 배우려는 모든 사람에게 통찰력있는 답변이 도움이 될 수 있으므로 이에 대한 일부 참고 자료도 제공하는 것이 유익하다고 생각합니다.
관심이있는 경우 다음과 같은 추가 가정을 바탕으로 노력했습니다.
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ 극 순서를 다른 것으로 참조해야합니다. $d$ (특성 다항식의 정도)는 로컬 링에 대해서만 정의됩니다.
- 이 반지의 등급이 매겨진 구조는 $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, 어디 $\bigoplus A_n$ 표준 등급입니다. $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
편집 : 나는 책에서 아주 깊지 않으면 문제가 충분히 명확하지 않다고 생각하므로 11 장에서 (11.20)까지 발견 된 관련 결과에 대한 짧은 요약을 제공 할 것입니다 : Noetherian 등급 링$A$ 로 생성 $A_0$-대수 $s$ 차수 1의 동종 요소, Theorem (11.1)은 Poincaré 시리즈가 $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ 유한하게 생성 된 등급 $A$-기준 치수 $M$ 질서가있다 $d(M)\leq s$ ...에서 $t=1$. 이것은 상한을 제공합니다$d(A)$ 복용 할 때 $M=A$. (11.20)에서의 불평등은, 그러나, 도입 하한 을 위해$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. 극 순서의 하한은 텍스트 앞부분에서 동등의 형태로만 나타납니다.$G_\mathfrak{q}(A)$ Noetherian 지역 반지의 $A$wrt. an$\mathfrak{m}$-일차 이상 $\mathfrak{q}$ [극 순서 $G_\mathfrak{q}(A)$ 이 경우 희미한 $A$]. 따라서 극점 순서의 하한을 결정하기위한 결과가 부족하기 때문에 어려움이 있습니다.
답변
허락하다 $\bigoplus A_n$ 표준 등급 $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. 등급이 매겨진 고리의 동형$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ 추측적이고 커널이 있음 $(\bar{f})$, 그 후 $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ 등급입니다 $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ 지도를 유도하다 $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ 이후 $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, 그래서 우리는 등급이 매겨진 고리의 다음과 같은 추측 동형을 얻습니다. $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ 참고 $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ 과 $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ 아르 $A/\mathfrak{q}$-모두를위한 모듈 $n$ (가정 $s > 0$)이므로 유한 길이를 가져야합니다. $A/\mathfrak{q}$Artin입니다. 이후$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ 동형 이미지입니다 $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, 우리는 또한 $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. 마지막으로 그 이후로$\bigoplus A_n$ 로 생성됩니다. $A/\mathfrak{q}$-대수 $t_1,\dots,t_d$, 두 개의 다른 링은 각각의 이미지에 의해 생성됩니다. 이 이미지는 모두 1 차의 동질이기 때문에 (11.2)에서 모든 대형$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ 다항식 $g(n)$ 정도 $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ 과 $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ 다항식 $h(n)$ 정도 $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. 이제부터$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ 모두를 위해 $n$, 우리는 그것을 가지고 있어야합니다 $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, 따라서 $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ 불평등을 증명합니다.