벡터 간의 각도로서의 상관 관계

Question

두 무작위 변수 사이의 각도로 상관 관계의 기하학적 해석에 대해 약간 혼란 스럽습니다. 가정$X$ 과 $Y$ 평균을 갖는 두 개의 변수 $0$ 및 상태 공간 $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$. 그때$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ 그리고 상관 관계 $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ 두 벡터를 정의하지 않는 한 이것이 두 벡터 사이의 각도인지 알 수 없습니다. $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ 어떤 경우에 나는 그것을 본다 $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ 어디 $\theta$ 사이의 각도입니다 $x$ 과 $y$. 이것이 (연관 확률의 제곱근에 의해 가중치가 부여 된 각 상태 값의 벡터를 정의하는 것과 같이) 해석하는 올바른 방법입니까?

Answer 1

거의 맞습니다. 이러한 기하학적 해석을 제공하려면 정확히 수행 한대로 진행하고 두 가지를 정의해야합니다.

1. 랜덤 변수는 벡터로 어떻게 해석됩니까?
2. 이러한 벡터 간의 스칼라 곱 (또는 이에 상응하는 길이와 각도)은 어떻게 정의됩니까?

1에 대한 해석은 함수를 벡터로 해석하는 표준입니다. 즉, 랜덤 변수는 상태 공간을$\mathbb{R}$따라서 그들은 다른 모든 실제 함수와 같은 벡터입니다. 귀하의 경우 상태 공간은 유한하므로 벡터 공간은 유한 차원입니다. 당신은 그것을 식별 할 수 있습니다$\mathbb{R}^3$당신이 제안한 것과 정확히 일치하지만 당신은 확률을 통합하지 않습니다! 즉 랜덤 변수$X$ 벡터와 관련 $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$

확률은 2에 대해서만 입력됩니다. 0의 곱에 대한 기대 값은 랜덤 변수를 의미합니다. $\mathbb{E}[XY]$ 스칼라 곱의 모든 조건을 충족합니다. 이것은 쌍 선형이고 대칭 적이며 (분명히) 비 변성입니다. $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ae

그래서 당신은 단순히 $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ 각도를 측정 할 준비가되었습니다!