비행기 탈출
어느 일요일 아침, 당신은 깨어나 무한하고 평평한 평면에서 완전히 혼자임을 발견합니다. 당신은 당신이 그 이외의 전날 밤에 대해 많이 기억하지 수 마법사 열 받게했다. 옆에 셀 수없이 무한한 색상의 팔레트와 다음과 같이 명령하는 메모가 있습니다.
이 평면의 모든 점을 페인트해야합니다. 그래야 동일한 색상과 합리적 영역의 정점을 가진 삼각형을 찾을 수 없습니다.
이 작업을 관리 할 수 있다면 마법사가 당신을 자유로이 만들 것입니다. 실패하면 영원히 갇혀 있습니다. 당신은 마법사의 능력을 의심하지 않으므로 여기에 값싼 트릭이 없습니다. 문제를 고려하면 작업에 착수합니다. 그리고 셀 수없이 무한한 시간이 지난 후에 마법사는 당신의 수작업에 감탄하며 당신 옆에 서 있습니다.
마법사가 당신을 자유롭게 해주나요?
편집 : 질문의 구조를 기반으로 측면 적 사고 답변을 제거하기 위해 다음은 퍼즐에 대한 공식적인 수학적 진술입니다.
착색이 존재합니까 $\mathbb{R}^2$ 같은 색과 합리적 영역의 꼭지점을 가진 삼각형을 찾는 것이 불가능합니까?
답변
매우 흥미로운 수퍼 태스크.
2D 평면에서 세 개의 비공 선적 점은 삼각형을 만들므로 각 색상의 점 2 개만 사용하십시오. 무한한 색이 있기 때문에 색이 떨어지지 않습니다. 그러나이 작업은 셀 수없이 많은 시간이 걸리고 비행기에 갇히게되므로 죽음으로부터 우리를 구할 수는 없습니다. 그래서 우리는 이것을 수퍼 태스크처럼 접근해야합니다. 1 분 안에 첫 번째 점을 페인트하고, 두 번째 점을 절반으로 페인트하고, 세 번째 점을 두 번째 점의 절반에 페인트하는 등의 작업을 수행합니다. 단 2 분만에 마법사가 확인해야하는 시간에 관계없이 비행기!
편집하다:
위의 해결책은 셀 수 없을 정도로 무한한 수의 포인트가 있기 때문에 색상이 부족하다는 문제가 있습니다. $\mathbb{R}^2$셀 수없이 무한한 수의 색상이 있습니다. 숫자 색상을 늘려서 조금 더 가까워 질 수 있습니다. 색상을 마법사가 내게 준 개별 페인트 얼룩으로 생각하는 대신 이제 안료가 반사하는 빛의 파장을 고려할 것입니다 (여기서 페인트 혼합이 작동하는 방식은 완전히 무시 함). 이제 슈퍼 작업의 각 단계에서 페인트를 혼합하여 새로운 색상을 얻습니다 (예 : 1 단계에서 페인트를$700nm$, 2 단계에서 페인트를 $700.\bar01nm$등). 이제 무한한 수의 페인트 색상이 있습니다. 하지만 비행기가 무한한 2 차원 점으로 가득 찬 느낌$\mathbb{R}^2$, 나는 페인트 만 가지고 있지만 $\mathbb{R}>0$, 그래서 여전히 충분한 색상이 없습니다.
확실히 이것은 간단합니다
무한한 색상이 있으므로 각 색상을 한 번만 사용합니다. '포인트'가 진정한 포인트인지 여부를 지정하지 않았습니다. 평면의 실제 점이라면 치수가 없으므로 페인트 할 수 없습니다. 1 분자의 페인트도 사용할 수 없습니다.
또는
이 작업을 관리 할 수 있다면 마법사가 당신을 자유로이 만들 것입니다. 실패하면 영원히 갇혀 있습니다.
작업이 영원히 걸릴 것이라는 점을 감안할 때, 작업을 수행하는 동안 영원히 갇혀 있으며, 마법사가 당신을 자유롭게하지 않을 것입니다.
또는
무한히 긴 평행 한 단색 직선을 그립니다. 같은 색상의 세 개의 꼭지점이있는 삼각형은 없습니다.