보여줘 $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [닫은]

Question

누군가 나에게 보여줄 방법 힌트를 줄 수 있습니까? $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

나는 두 적분을 개별적으로 수행하는 방법을 알고 있지만이 질문은 그것들을 평가하는 다른 방법으로 이어지고 이것이 먼저 보여 져야합니다. 따라서 두 가지를 개별적으로 평가하기보다는 질문이 의도 한대로 적분을 조작하여 동등성을 보여주고 싶습니다.

나는 양측과 함께 일해 보았고 속임수를 놓친 것 같습니다. 부분 적분을 사용하면 분모의 힘이 증가하고 좋은 취소가 발생하지 않습니다 (관련없는 감소 공식 제외). 큰 대체물도 볼 수 없습니다.

Answer 1

대체를 시행함으로써 $x\mapsto 1/x$, 우리는 찾는다

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

그리고 우리는 끝났습니다!

Answer 2

기본적으로 증명하고 싶습니다.

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

적분을 고려하십시오 $(1,\infty)$간격. 변수 변경 적용$y = 1/x$ 우리는 얻는다

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

그것은 분명히 사실입니다.